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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 62

Calcule a integral indefinida:

int ((x + 3))/(sqrt(x^2 + 2 x)) d x

Passo 1

Vamos fazer uma manipulação primeiro nessa raiz, temos que (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1 é parecido com a expressão x^2 + 2 x , assim:

x^2 + 2 x = (x + 1)^2 - 1

Substituindo na integral:

int ((x + 3))/(sqrt(x^2 + 2 x)) d x = int ((x + 3))/(sqrt((x + 1)^2 - 1)) d x

Agora vamos fazer uma substituição:

u = x + 1

d u = d x

Substituindo:

int ((x + 3))/(sqrt((x + 1)^2 - 1)) d x = int ((x + 1 + 2))/(sqrt((x + 1)^2 - 1)) d x = int ((u + 2))/(sqrt(u^2 - 1)) d u

Passo 2

Pronto, para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 - a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sec theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

u = sec theta

d u = sec theta tg theta d theta

Substituindo temos:

int ((u + 2))/(sqrt(u^2 - 1)) d u = int ((sec theta + 2))/(sqrt(sec^2 theta - 1)) sec theta tg theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int ((sec theta + 2))/(sqrt(sec^2 theta - 1)) sec theta tg theta d theta = int ((sec theta + 2))/(sqrt(tg^2 theta)) sec theta tg theta d theta = int ((sec theta + 2))/(tg theta) sec theta tg theta d theta =

= int (sec theta + 2) sec theta d theta = int sec^2 theta d theta + int 2 sec theta d theta = int sec^2 theta d theta + 2 int sec theta d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec^2 x d x = tg x + C

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec^2 theta d theta + 2 int sec theta d theta = tg theta + 2 ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que u = sec theta , ou seja, sec theta = u , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg theta :

Assim o valor de tg theta é:

tg theta = (sqrt(u^2 - 1))/(1) = sqrt(u^2 - 1)

Pronto, ficamos então com:

int ((x + 3))/(sqrt(x^2 + 2 x)) d x = int ((u + 2))/(sqrt(u^2 - 1)) d u = int sec^2 theta d theta + 2 int sec theta d theta =

= tg theta + 2 ln |sec theta + tg theta| + C = sqrt(u^2 - 1) + 2 ln |u + sqrt(u^2 - 1)| + C =

= sqrt((x + 1)^2 - 1) + 2 ln |x + 1 + sqrt((x + 1)^2 - 1)| + C =

= sqrt(x^2 + 2 x + 1 - 1) + 2 ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x + 1 - 1)| + C =

= sqrt(x^2 + 2 x) + 2 ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x)| + C

Resposta

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 5)) = sqrt(x^2 + 2 x) + 2 ln |x + 1 + sqrt(x^2 + 2 x)| + C

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