Calcule a integral indefinida:

∫ x + 3 x 2 + 2 x   d x

Passo 1

Vamos fazer uma manipulação primeiro nessa raiz, temos que x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 é parecido com a expressão x 2 + 2 x , assim:

x 2 + 2 x = x + 1 2 - 1

Substituindo na integral:

∫ x + 3 x 2 + 2 x   d x = ∫ x + 3 x + 1 2 - 1   d x

Agora vamos fazer uma substituição:

u = x + 1

d u = d x

Substituindo:

∫ x + 3 x + 1 2 - 1   d x = ∫ x + 1 + 2 x + 1 2 - 1   d x = ∫ u + 2 u 2 - 1   d u

Passo 2

Pronto, para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

u = sec ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ u + 2 u 2 - 1   d u = ∫ sec ⁡ θ + 2 sec 2 ⁡ θ - 1   sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ sec ⁡ θ + 2 sec 2 ⁡ θ - 1   sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ + 2 tg 2 ⁡ θ   sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ   sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ =

= ∫ sec ⁡ θ + 2 sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ + ∫ 2 sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec 2 ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ + 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que u = sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = u , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ :

Assim o valor de tg ⁡ θ é:

tg ⁡ θ = u 2 - 1 1 = u 2 - 1

Pronto, ficamos então com:

∫ x + 3 x 2 + 2 x   d x = ∫ u + 2 u 2 - 1   d u = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ + 2 ∫ sec ⁡ θ d θ =

= tg ⁡ θ + 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = u 2 - 1 + 2 ln ⁡ u + u 2 - 1 + C =

= x + 1 2 - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 + x + 1 2 - 1 + C =

= x 2 + 2 x + 1 - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 1 - 1 + C =

= x 2 + 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + C

Resposta

∫ d x x 2 x 2 - 5   = x 2 + 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + C

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