Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 72
Nos exercícios 68 a 72, calcular a integral definida:
72.
Passo 1
Esta é uma integral cujo melhor método para resolver é o método da substituição trigonométrica.
Quando temos a presença do radical , onde representa o termo que contém a variável (no caso, ) e uma constante qualquer, a substituição, de tabela, é .
Teremos:
Agora, substituímos esses termos dentro de nossa integral original, para começarmos finalmente a integração. Vamos ter:
Passo 2
Começamos por simplificar o que for possível, e abrimos o termo interior ao radical:
Substituímos e por suas definições a partir de seno e cosseno, para fazer mais uma simplificação:
Trabalhamos dentro do radical, pondo o 9 em evidência. Em seguida, retiramos ele do radical:
Passo 3
Trabalhando ainda dentro do radical, vamos trocar por , pois esta é uma relação trigonométrica tabelada, que você deve dominar: . Teremos:
Trabalhamos esse novo termo:
Passamos para e fazemos a simplificação:
A integral de é de tabela, então teremos:
Passo 4
Ainda precisamos retornar de para , nossa variável original.
Tínhamos que . Logo, . Precisamos ainda determinar em termos de . Como?
Bem, veja o seguinte triângulo retângulo, em que o ângulo destacado seja .
Já sabemos que . Logo, temos que . Dessa forma, por Pitágoras, podemos facilmente completar nesse triângulo os valores de seus catetos e hipotenusa:
E assim, conseguimos determinar o valor da , cateto oposto sobre o cateto adjacente, que será .
Por fim, podemos dar nossa resposta em termos da variável . Teremos:
Passo 5
Aplicando os limites de integração, teremos:
Aplicando a propriedade dos logaritmos, unimos esses dois termos, tornando nossa resposta mais enxuta: