Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

15. ; . Tome os elementos de área perpendiculares ao eixo

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o representa uma partição do intervalo [] no eixo , como a questão pediu e já repare que o gráfico é simétrico! ;)

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

(no caso é o valor da nossa área )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é , onde é a nossa função que tá por cima mas num ponto que pertence a . A norma da partição é ||||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

Como o gráfico é simétrico, multiplicamos por 2 pra ter a área total. E a altura dos mini retângulos será a função , porque “invertemos” os eixos.

Show? =]

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de , assim ó:

Resolvendo...

(só multipliquei por – dos dois lados)

Substituindo temos

Voltando para ...

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D