Use um gráfico para estimar a intersecção com o eixo x da curva y = x + x^2 - x^4 . A seguir, use essa informação para estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que plotar o gráfico de

y = x + x 2 - x 4

E estimar as intersecções com o eixo x para assim calcular a área da curva acima do eixo x .

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiro vamos usar uma ferramenta gráfica para estimar os valores de x onde y = 0 e para calcular a área de y acima do eixo x temos que lembrar que a integral de uma curva em um intervalo a , b pode ser interpretado como a área abaixo da curva nesse intervalo.

∫ a b y d x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos estimar a intersesção com o eixo x da curva y = x + x 2 - x 4 , para isso vamos plotar o gráfico:

Pelo gráfico dá pra perceber que a interseção com o eixo x é em x = 0 e em mais ou menos x = 1,32 .

Show?

Passo 3

Agora vamos estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x , para fazer isso devemos calcular a integral da curva de cima menos a de baixo, e usar os limites de integração com os pontos de intersecção que acabamos de achar.

A curva de cima é y = x + x 2 - x 4 , a de baixo é o eixo x , que seria y = 0 , vamos agora montar a integral:

A = ∫ a b y d x

Onde a = 0 e b = 1,32 , que são os valores que estimamos no passo anterior.

A = ∫ 0 1,32 x + x 2 - x 4 d x

Para calcular a integral dessa função, podemos usar a regra da potência já que a função de integração é um polinômio:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C ,     n ≠ - 1

Aplicando essa regra na nossa integral:

∫ x + x 2 - x 4   d x = x 1 + 1 1 + 1 + x 2 + 1 2 + 1 - x 4 + 1 4 + 1

∫ x + x 2 - x 4   d x = x 2 2 + x 3 3 - x 5 5 + C

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1,32 x + x 2 - x 4 d x = 1,32 2 2 + 1,32 3 3 - 1,32 5 5 + C - 0 2 2 + 0 3 3 - 0 5 5 + C

∫ 0 1,32 x + x 2 - x 4 d x = 0,84

Portanto, a área abaixo da curva y e acima do eixo x é dada por:

A = 0,84

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

Intersecção em x = 0 e x ≈ 1,32

A ≈ 0,84

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados