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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 44

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

44. A região do Exercício 29.

Passo 1

A região do exercício 29 é:

O intervalo da região será [ 0 , 1 ] e a função é f x = 3 x 4 . Sendo assim,

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 3 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i 4 = 3 16 0 + i n + 0 + i - 1 n 4

f m i = 3 16 2 i - 1 n 4 = 3 ( 16 i 4 - 4 ⋅ 8 i 3 + 6 ⋅ 4 i 2 - 4 ⋅ 2 i + 1 ) 16 n 4

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 ( 16 i 4 - 32 i 3 + 24 i 2 - 8 i + 1 ) 16 n 4 1 n  

lim n → + ∞ ⁡ 3 16 n 5 ∑ i = 1 n ( 16 i 4 - 32 i 3 + 24 i 2 - 8 i + 1 )

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 16 n 5 16 ∑ i = 1 n i 4 - 32 ∑ i = 1 n i 3 + 24 ∑ i = 1 n i 2 - 8 ∑ i = 1 n i + ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4                             ∑ i = 1 n i 4 ⏞ V = n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 16 n 5 16 n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30 - 32 n 2 n + 1 2 4 + 24 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 - 8 n ( n + 1 ) 2 + n

A = 3 16 lim n → + ∞ ⁡ 16 n n 1 + 1 n 6 n 3 n 3 + 9 n 2 n 3 + n n 3 - 1 n 3 30 - 32 n 2 n 3 1 + 1 n 2 4 + 24 n n 3 1 + 1 n 2 + 1 n 6 - 8 n n 4 1 + 1 n 2 + n / n 5

A = 3 16 ⁡ 16 1 + 0 6 + 0 + 0 - 0 30 - 32 0 1 + 0 2 4 + 24 0 1 + 0 2 + 0 6 - 8 0 1 + 0 2 + 0

A = 3 16 ⁡ 16 ⋅ 6 30 = 18 30 = 3 5

A = 3 5

Logo, a área é 3 5   u . a .

Resposta

A = 3 5   u . a

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