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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 8

Faça a antidiferenciação

int sqrt(x) (1 + x^2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos fazer:

sqrt(x) = x^((1)/(2))

Vamso ter:

sqrt(x) (1 + x^2) = x^((1)/(2)) (1 + x^2)

Fazendo a distributiva:

x^((1)/(2)) + x^2 x^((1)/(2)) = x^((1)/(2)) + x^(2 + (1)/(2)) = x^((1)/(2)) + x^((5)/(2))

A nossa integral fica:

int sqrt(x) (1 + x^2) d x = int (x^((1)/(2)) + x^((5)/(2))) d x

Vamos usar as propriedades de integral para deparar cada parte

int (x^((1)/(2)) + x^((5)/(2))) d x = int (x^((1)/(2))) d x + int (x^((5)/(2))) d x

Passo 2

Aqui, essas antiderivadas são as de potência:

int y^n d y = (y^(n + 1))/(n + 1) , s e n != 1

Vamos ter:

int (x^((1)/(2))) d x + int (x^((5)/(2))) d x = (x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + (x^((5)/(2) + 1))/((5)/(2) + 1) + C = (x^((3)/(2)))/(3 // 2) + (x^((7)/(2)))/(7 // 2) + C

(2)/(3) x^((3)/(2)) + (2)/(7) x^((7)/(2)) + C

Resposta

(2)/(3) x^((3)/(2)) + (2)/(7) x^((7)/(2)) + C

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