Enunciado

Nos exercícios de 2 1 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

30 )   lim t → 3 2 ⁡ 8 t ³ - 27 4 t ² - 9

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando t está se aproximando de 3 2 , demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f t = 8 t ³ - 27 4 t ² - 9 = 2 t - 3 . ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t - 3 ) ( 2 t + 3 ) = ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t + 3 )

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t + 3 )

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t + 3 ) = l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t + 3 )

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) ( 2 t + 3 ) = l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) l i m t → 3 2 ( 2 t + 3 )

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m t → 3 2   ( 4 t 2 + 6 t + 9 ) l i m t → 3 2   ( 2 t + 3 ) = l i m t → 3 2   4 t 2 + l i m t → 3 2   6 t + 9 l i m t → 3 2   ( 2 t + 3 )

Usando o Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

l i m t → 3 2   4 t 2 + l i m t → 3 2   6 t + 9 l i m t → 3 2   ( 2 t + 3 ) = l i m t → 3 2   4 . l i m t → 3 2 t 2 + l i m t → 3 2   6 t + 9 l i m t → 3 2   ( 2 t + 3 )

Pelo Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n

l i m t → 3 2   t = 3 2

l i m t → 3 2   t ² = 3 2 2 = 9 4

Pelo Teorema 2:

l i m t → 3 2   4 = 4

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m t → 3 2   6 t + 9 = 6 . 3 2 + 9 = 18

l i m t → 3 2   2 t + 3 = 2 . 3 2 + 3 = 6

Concluindo:

l i m t → 3 2   4 . l i m t → 3 2 t 2 + l i m t → 3 2   6 t + 9 l i m t → 3 2   ( 2 t + 3 ) = 4 . 9 4 + 18 6 = 4 . 9 4 + 18 6 = 27 6 = 3 2 2

Resposta

lim t → 3 2 ⁡ 8 t ³ - 27 4 t ² - 9 = 3 2 2

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