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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 45

Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s. Mostre que o movimento é harmônico simples.

45. s = 5 - 10 s e n 2 ( 2 t )

Passo 1

A equação fornecida pelo enunciado é uma equação de movimento e periódica (quer dizer que ela repete o valor em determinado intervalo de tempo).

Para sabermos se o movimento é harmônico simples, temos que avaliar se a função que define o deslocamento e que define a aceleração têm sentidos opostos de crescimento (se uma negativa e a outra positiva), para saber a aceleração basta calcular a segunda derivada da função s(t), obtendo a(t).

Passo 2

1º - Vamos calcular a primeira derivada

s ( t ) = 5 - 10 s e n 2 ( 2 t )

s ' t = - 10 ⋅ 2 ⋅ s e n 2 t ⋅ c o s 2 t ⋅ 2

                    = - 40 c o s 2 t ⋅ s e n 2 t

Passo 3

2º - Vamos calcular a derivada de segunda ordem:

s ' t = - 40 cos ⁡ 2 t ⋅ s e n 2 t

s ' ' t = a t = - 40 cos ⁡ 2 t ' ⋅ s e n 2 t + cos ⁡ 2 t ⋅ s e n 2 t '

                                                    = - 40 - s e n 2 t ⋅ 2 ⋅ s e n 2 t + cos ⁡ 2 t ⋅ cos ⁡ 2 t ⋅ 2

                                                    = - 40 [ - 2 s e n 2 6 t + 2 cos 2 ⁡ ( 2 t ) ]

                                                    = - 80 [ - s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ ( 2 t ) ]

Uma identidade trigonométrica que vai nos ser útil para simplificar ainda mais a expressão é:

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = c o s ( 2 x )

Aplicando isso a expressão que tínhamos:

                                                  = - 80 c o s ( 4 t )

Passo 4

Como podemos ver s t > 0   e   a t < 0 logo o movimento é harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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