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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 44

Mostre que se x y = k , onde k é uma constante não-nula, então d 2 y d x 2 d 2 x d y 2 = 4 k .

Passo 1

Bom, melhor separarmos y de x para conseguirmos fazer cada uma das derivadas, primeiro vamos isolar y:

y = k x

E então calculamos as derivadas com relação a x a partir daí

Passo 2

A primeira derivada então será:

d y d x = d d x k x

Aplicando a Regra do Quociente:

d d x k x = d d x k x - k d d x ( x ) x 2

Como:

d d x k = 0     e   d d x x = 1

Ficamos com:

d d x k x = - k x 2

Fazendo agora a derivada do nosso resultado:

d d x - k x 2 = - d d x k x 2 - k d d x ( x 2 ) x 4

Como:

d d x x 2 = 2 x

Nossa derivada ficará:

d 2 y d x 2 = d d x - k x 2 = 2 k x 3

Passo 3

Para fazermos a outra derivada, vamos precisar isolar x na equação dada:

x = k y

E calcular a derivada de x com relação a y (lembrando que agora x é função de y, então ao derivarmos, não vamos fazer as considerações que fazemos ao derivarmos implicitamente).

A primeira derivada será:

d x d y = d d y k y

Aplicaremos mais uma vez a Regra do Quociente:

d x d y = d d y k y - k d d y y y 2

Como:

d d x k = 0     e   d d y y = 1

Nossa derivada fica:

d x d y = - k y 2

Fazendo agora a segunda derivada:

d 2 x d y 2 = d d y - k y 2

Aplicando a Regra do Quociente:

d d y - k y 2 = - d d y k y 2 - k d d y ( y 2 ) y 4

A primeira derivada que apareceu já sabemos, e a última será:

d d y y 2 = 2 y

Substituindo e resolvendo a derivada anterior:

d 2 x d y 2 = d d y - k y 2 = 2 k y 3

Passo 4

Vamos substituir as duas segundas derivadas no que foi pedido no enunciado:

d 2 y d x 2 d 2 x d y 2

Ficará o seguinte:

2 k x 3 . 2 k y 3

Substituindo y pela equação do Passo 1, para ficarmos com tudo escrito em termos de x:

2 k x 3 2 k k x 3 = 4 k 2 x 3 . x 3 k 3 = 4 k

Portanto:

d 2 y d x 2 d 2 x d y 2 = 4 k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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