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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 77

Um navio deixa um porto ao meio-dia e desloca-se para o oeste a velocidade de 20 nós (um nó é uma milha náutica por hora e uma milha náutica equivale a aproximadamente 2 km). Ao meio-dia do dia seguinte um segundo navio deixa o mesmo porto e viaja para noroeste a 15 nós. Com que velocidade os navios se separam quando o segundo navio percorreu 90 milhas náuticas?

Passo 1

Certo, como o enunciado trata de tempo em que os navios saíram do porto, e nos dá a velocidade deles, precisaremos utilizar para cada navio uma função do tempo. Para o primeiro navio, vamos usar x ( t ) para a distância do primeiro navio em relação ao porto, y ( t ) para o segundo e z ( t ) a distância entre os navios.

Passo 2

O enunciado nos diz que o primeiro navio se desloca a oeste e o segundo a noroeste, então o ângulo entre o movimento dos dois navios é 45°, ou π 4 em radianos. Podemos então aplicar a lei dos cossenos para sabermos a distância z ( t ) entre eles:

z 2 = x 2 + y 2 - 2 x y c o s π 4 = x 2 + y 2 - 2 x y

z = x 2 + y 2 - 2 x y

Passo 3

Agora precisamos calcular a velocidade com que eles se separam, ou seja, a taxa que z aumenta à medida que o tempo passa, então precisamos derivar z com relação ao tempo:

d z d t = d d t x 2 + y 2 - 2 x y

Aplicando a Regra da Cadeia:

d d t x 2 + y 2 - 2 x y = 1 2 x 2 + y 2 - 2 x y d d t x 2 + y 2 - 2 x y

Resolvendo a derivada que apareceu:

d d t x 2 + y 2 - 2 x y = d d t x 2 + d d t y 2 - d d t 2 x y

Precisaremos aplicar a Regra da Cadeia para os dois primeiros termos, pois x e y são funções de t:

d d t x 2 = 2 x d x d t

d d t y 2 = 2 y d y d t

E para o último termo aplicaremos a Regra do Produto:

d d t 2 x y = 2 d x d t y + x d y d t

Substituindo os resultados:

d d t x 2 + y 2 - 2 x y = 2 x d x d t + 2 y d y d t - 2 d x d t y + x d y d t

d z d t = d d t x 2 + y 2 - 2 x y = 2 x d x d t + 2 y d y d t - 2 d x d t y + x d y d t 2 x 2 + y 2 - 2 x y

Passo 4

Sabemos o valor de deslocamento do segundo navio, pois o enunciado nos deu y = 90 e também sabemos o tempo que o primeiro navio andou antes do segundo navio sair, que foram 12 horas.

Multiplicando o tempo pela velocidade, podemos obter o deslocamento do primeiro navio:

x = t d x d t = 12.20 = 240

Passo 5

Agora basta substituir os valores das velocidades e dos deslocamentos na velocidade de afastamento dos navios:

d z d t = 2 240 20 + 2 90 15 - 2 20 90 + ( 240 ) ( 15 ) 2 240 2 + 90 2 - 2 ( 240 ) ( 90 ) ≅ 12,44

Resposta

d z d t ≅ 12,44   n ó s

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