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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 54

54. Se f e g são duas funções, tais que suas derivadas primeira e segunda existem e h é uma função definida pela equação h   x =   f x ⋅ g ( x ) , prove que

h ' ' ( x ) = f x ⋅ g ' ' x   +   2 f ' x g ' x +   f ' ' x g x

Passo 1

Nessa prova iremos apenas utilizar a regra do produto, no geral ela é bem tranquila, mas vamos fazer passo-a-passo para que você possa entender melhor.

Passo 2

1ª Derivada: Usando a regra do produto

h x =   f x ⋅ g ( x )       ⇒ h ' x = f ' ( x ) ⋅ g x +   f ( x ) ⋅ g ' ( x )

Muito simples, não é?

Passo 3

2ª Derivada: Aqui iremos usar a regra do produto, mas para cada termo separadamente.

h ' ' x = [ f ' ( x ) ⋅ g x ] '   + [ f ( x ) ⋅ g ' ( x ) ] '  

1º termo: f ' x ⋅ g x ' = f ' ' x ⋅ g x + f ' x ⋅ g ' ( x )

2º termo: f ( x ) ⋅ g ' ( x ) ' = f ' x ⋅ g ' x + f x ⋅ g ' ' ( x )

Passo 4

Agora é só juntar os dois termos na equação de h ' ' x e está tudo lindo.

h ' ' x = f ' ' x ⋅ g x + f ' x ⋅ g ' x + f ' x ⋅ g ' x + f x ⋅ g ' ' x

                        =   f ' ' x g x +   2 f ' x g ' x +   f x ⋅ g ' ' x

Provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = x 3 + x 2 - 5 x .Estude o sinal de f ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f ' x onde f x é igual a sec ⁡ x 3 x + 2
Calcule f ' x onde f x é igual a x sen ⁡ x
Calcule f ' x onde f x é igual a x 3 + x co s sec ⁡ x
Calcule f ' x onde f x é igual a cos ⁡ x + x 2 + 1 sen ⁡ x