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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 54

54. Se f e g são duas funções, tais que suas derivadas primeira e segunda existem e h é uma função definida pela equação h   x =   f x ⋅ g ( x ) , prove que

h ' ' ( x ) = f x ⋅ g ' ' x   +   2 f ' x g ' x +   f ' ' x g x

Passo 1

Nessa prova iremos apenas utilizar a regra do produto, no geral ela é bem tranquila, mas vamos fazer passo-a-passo para que você possa entender melhor.

Passo 2

1ª Derivada: Usando a regra do produto

h x =   f x ⋅ g ( x )       ⇒ h ' x = f ' ( x ) ⋅ g x +   f ( x ) ⋅ g ' ( x )

Muito simples, não é?

Passo 3

2ª Derivada: Aqui iremos usar a regra do produto, mas para cada termo separadamente.

h ' ' x = [ f ' ( x ) ⋅ g x ] '   + [ f ( x ) ⋅ g ' ( x ) ] '  

1º termo: f ' x ⋅ g x ' = f ' ' x ⋅ g x + f ' x ⋅ g ' ( x )

2º termo: f ( x ) ⋅ g ' ( x ) ' = f ' x ⋅ g ' x + f x ⋅ g ' ' ( x )

Passo 4

Agora é só juntar os dois termos na equação de h ' ' x e está tudo lindo.

h ' ' x = f ' ' x ⋅ g x + f ' x ⋅ g ' x + f ' x ⋅ g ' x + f x ⋅ g ' ' x

                        =   f ' ' x g x +   2 f ' x g ' x +   f x ⋅ g ' ' x

Provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax^2 tg x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a4 sec x + cotg x
Calcule F^' (x) onde F (x) é igual asqrt(x) + (3)/(x^3 + 2)
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(x^2 + 1)/(sec x)
Seja f x = x 2 + 1 x .Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo x .Esboce o gráfico de f .