Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 35
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.
35.
Passo 1
Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.
E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.
Passo 2
Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.
Para temos:
Para temos:
Para temos:
Passo 3
Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.
Para :
Para temos:
A única possibilidade dessa expressão ser 0 é se:
Para :
Passo 4
Então achamos os valores de x que é ponto crítico de , que é e e . Agora vamos ver o valor de para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.
Para :
Para temos:
Para :
Passo 5
Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.
Vemos que para:
Basta avaliar a função em valor um qualquer menor que .
Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.
Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.
Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.
Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.
Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que .
Olhando essas avaliações você pode ver que e são extremos relativos de , pois como e apresentam uma descontinuidade eles são números críticos de .
Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto mínimo, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto mínimo, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto mínimo.
Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.
Passo 6
Abaixo podemos ver o gráfico da função.
Resposta
Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta
- , , , e são extremos relativos.
- Em , em , em , e ocorre extremo relativo.
- é crescente em , ,
- é decrescente em , ,