Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 15
Calcule o valor exato de até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.
Passo 1
Para realizarmos esse cálculo, precisamos de uma função , uma vez que para utilizarmos o polinômio de Taylor necessitamos de uma função. Como queremos calcular o valor de , uma função viável é essa:
De acordo com a fórmula de Taylor, temos que para todo , tem-se:
Aqui vale ressaltar que tomamos , tudo bem? Ademais, uma vez escrito a fórmula de Taylor, basta gerarmos o seu polinômio, que é dado pela seguinte fórmula:
Passo 2
Para o polinômio supracitado no passo acima, teremos:
Oxe, como assim??? E aonde estão as derivadas? A derivada de uma função exponencial no seu modo mais simples, que é , sempre será ela mesma, é por isso que para qualquer ordem de derivada, se substituirmos , teremos como resposta! Continuando... Para obtermos uma aproximação melhor, vamos fazer o polinômio para , ok? Mas quem seria ? Como , então podemos tomar , saca só: