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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1d

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

y = x 2 + 1 x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x 2 + 1 x ' = x 2 + x - 1 ' = 2 x 2 - 1 - x - 1 - 1 = 2 x - x - 2 = 2 x - 1 x 2 = 2 x 3 - 1 x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando ele a zero:

2 x 3 - 1 = 0 → x = + 1 2 3

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x - 1 2 3 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 2 3 e assume valores positivos quando x > 1 2 3 .

Temos que f ' x > 0 em:

1 2 3 , + ∞

E em f ' x < 0 vamos ter um ponto de descontinuidade em 0 , assim:

- ∞ , 0 e 0 , 1 2 3

f é estritamente crescente em 1 2 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0 , 1 2 3

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x = + ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em 1 2 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , 0 e 0 , 1 2 3

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