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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 44

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = 1 t ( t + 1 )

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 t ( t + 1 ) = ln ⁡ 1 t ( t + 1 ) 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 t ( t + 1 ) = 1 2 ln ⁡ 1 t ( t + 1 - 1 = 1 2 ln ⁡ 1 + ln ⁡ t ( t + 1 ) - 1 = 1 2 - ln ⁡ t t + 1 = - 1 2 ( ln ⁡ t + ln ⁡ ( t + 1 ) )

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

- 1 2 ( ln ⁡ t + ln ⁡ ( t + 1 ) ) ' = - 1 2 ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 ' = - 1 2 ( ln ⁡ t ' + ln ⁡ t + 1 ' )

Passo 3

Para derivar o segundo termo vamos ter que usar a regra da cadeia. Vamos usar a tabela das derivadas normalmente

ln ⁡ t ' = 1 t

Para o segundo termo temos a composição de h t = ln ⁡ t com w t = t + 1 . Logo

ln ⁡ t + 1 ' = h ' w t ⋅ w ' ( t )

Pela tabela de derivadas temos

h ' t = 1 t

w ' t = 1

Assim,

ln ⁡ t + 1 ' = 1 t + 1

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = - 1 2 1 t + 1 t + 1

Fazendo o MMC temos que

1 y y ' = - 1 2 1 t + 1 t + 1 = - 1 2 t + 1 + t t t + 1 = - 2 t + 1 2 t t + 1

Mas, pelo enunciado y = t t + 1 . Portanto,

y ' = 1 t t + 1 ⋅ - 2 t + 1 2 t t + 1

Resposta

y ' = 1 t t + 1 ⋅ - 2 t + 1 2 t t + 1

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