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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 89

Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = ( x + 1 ) x

Passo 1

O enunciado pede para utilizar a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação a x. Assim, vamos utilizar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b l n   a

Sabendo disso, vamos reescrever o termo ( x + 1 ) x . Beleza?

( x + 1 ) x = e x l n   ( x + 1 )

Passo 2

Agora, vamos derivar em ambos os lados da equação e em seguida utilizar a regra da cadeia:

d y d x = d d x e x l n   ( x + 1 )

Aplicando a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u e u =   x l n   ( x + 1 )

d f d u =   e u

Para derivar o termo x ln ⁡ x , utilizamos a regra do produto. Beleza?

d u d x = ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Passo 3

Agora, apenas vamos substituir os valores encontrados:

d y d x =   e u .   ln ⁡ x + 1 + x x + 1

d y d x =   e   x l n   ( x + 1 ) .   ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Lembre que ( x + 1 ) x = e x l n   ( x + 1 ) então substituímos esse valor também. Certo?

d y d x =   ( x + 1 ) x ln ⁡ x + 1 + x x + 1 .  

Resposta

d y d x =   ( x + 1 ) x ln ⁡ x + 1 + x x + 1 .  

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