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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 93

Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = s i n ⁡ x x

Passo 1

O enunciado pede para utilizar a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação a x. Assim, vamos utilizar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b l n   a

Sabendo disso, vamos reescrever o termo s i n ⁡ x x . Beleza?

s i n ⁡ x x = e x ln ⁡ ( sin ⁡ x )

Passo 2

Agora, vamos derivar em ambos os lados da equação e em seguida utilizar a regra da cadeia:

d y d x = d d x e x ln ⁡ ( sin ⁡ x )

Aplicando a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u e u =   x ln ⁡ ( sin ⁡ x )

d f d u =   e u

Para derivar o termo   x ln ⁡ ( sin ⁡ x ) , ou seja para encontrar d u d x utilizamos a regra do produto, Beleza?

Lembrando que f . g ' = f ' . g + f . g '

Nesse caso, considere f = x   e g =   ln ⁡ ( sin ⁡ x )

E assim teremos: f ' = 1

g ' =   1 sin ⁡ x . cos ⁡ x =   cos ⁡ x sin ⁡ x =   cot ⁡ x

Logo, f . g ' = ln ⁡ ( sin ⁡ x ) + x cot ⁡ x

Assim, d u d x = ln ⁡ ( sin ⁡ x ) + x cot ⁡ x

Passo 3

Agora, apenas vamos substituir os valores encontrados:

d y d t = e x ln ⁡ ( sin ⁡ x )   . ln ⁡ ( sin ⁡ x ) + x cot ⁡ x  

Lembre que s i n ⁡ x x = e x ln ⁡ ( sin ⁡ x ) então substituímos esse valor também. Certo?

d y d t = s i n ⁡ x x   . ln ⁡ ( sin ⁡ x ) + x cot ⁡ x

Resposta

d y d t = s i n ⁡ x x   . ln ⁡ ( sin ⁡ x ) + x cot ⁡ x

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