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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 11

Encontre a área exata da superfície obtida girando a curva em torno do eixo x.

11 .   y = cos ⁡ 1 2 x ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

Para a rotação em torno do eixo x , vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 0 a π .

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d y d x .

d y d x = - 1 2 sin ⁡ 1 2 x

Logo:

d s = 1 + - 1 2 sin ⁡ 1 2 x 2   d x

= 1 + 1 4 sin 2 ⁡ 1 2 x   d x

Passo 3

Agora vamos montar a integral.

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 0 π 2 π cos ⁡ 1 2 x 1 + 1 4 sin 2 ⁡ 1 2 x   d x

= ∫ 0 π 2 π cos ⁡ 1 2 x 4 + sin 2 ⁡ 1 2 x 4   d x

Simplificando mais um pouco:

= ∫ 0 π 2 π cos ⁡ 1 2 x 1 2 4 + sin 2 ⁡ 1 2 x   d x

= π ∫ 0 π cos ⁡ 1 2 x 4 + sin 2 ⁡ 1 2 x   d x

Passo 4

Agora para continuar, vamos fazer uma substituição simples, da seguinte forma:

u = sin ⁡ 1 2 x

d u = 1 2 cos ⁡ 1 2 x   d x

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

u 1 = sin ⁡ 0 = 0

u 2 = sin ⁡ 1 2 π = 1

Então temos que nossa integral fica:

2 π ∫ 0 1 4 + u 2   d u

Passo 5

Agora vamos continuar a integração.

2 π ∫ 0 1 4 + u 2   d u

u = 2 tan ⁡ θ

⇒ θ = ta n - 1 ⁡ u 2

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

θ 1 = tan - 1 ⁡ 0 = 0

θ 2 = tan - 1 ⁡ 1 2 = tan - 1 ⁡ 1 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

2 π ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 4 + ( 2 tan ⁡ θ ) 2   2 sec 2 ⁡ θ d θ

= 4 π ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 4 + 4 tan 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ

= 8 π ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 1 + tan 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 6

Agora, lembrando que:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Então:

8 π ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 ( sec ⁡ θ )   sec 2 ⁡ θ d θ

= 8 π ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec 3 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar uma fórmula para resolver integral da secante elevado a termos altos, que é a seguinte:

∫ sec m ⁡ θ   d θ = sin ⁡ θ sec m - 1 ⁡ θ m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ sec - 2 + m ⁡ θ   d θ

Então para m = 3 , que é nosso caso:

8 π sin ⁡ θ sec 3 - 1 ⁡ θ 3 - 1 0 tan - 1 ⁡ 1 2 + 3 - 2 3 - 1 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec ⁡ θ d θ

= 8 π sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 0 tan - 1 ⁡ 1 2 + 1 2 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec ⁡ θ d θ

Então:

4 π sin ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 + ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec ⁡ θ d θ

= 4 π tan ⁡ ( θ ) sec ⁡ ( θ ) 0 tan - 1 ⁡ 1 2 + ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec ⁡ θ d θ

E aí ficamos com:

4 π 5 4 + ∫ 0 tan - 1 ⁡ 1 2 sec ⁡ θ d θ

Passo 7

Agora só falta a integral da secante, que é uma integral tabela, que é dada por:

∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ ( sec ⁡ ( θ ) + tan ⁡ ( θ ) )

Assim nossa integral fica:

4 π 5 4 + ( ln ⁡ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) ) 0 tan - 1 ⁡ 1 2

= π 5 + 4 π ln ⁡ 1 2 + 5 2

Resposta

π 5 + 4 π ln ⁡ 1 2 + 5 2

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Para x = ∫ 0 y t gtd t ,0 ≤ y ≤ π 3 ; eixo y :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se