Calcula a integral

int cos pi x cos 4 pi x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

(1)/(2) [cos (alpha - beta) + cos (alpha + beta)] = cos alpha cos beta

Vamos usar essa identidade... Então ,

cos pi x cos 4 pi x = cos pi x cos 4 pi x

Substituindo na integral,

int cos pi x cos 4 pi x d x = int (1)/(2) (cos 3 pi x + cos 5 pi x) d x

Passo 2

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

int (1)/(2) (cos 3 pi x + cos 5 pi x) d x = (1)/(2) int cos 3 pi x d x + (1)/(2) int cos 5 pi x d x

Encontrando as primitivas,

(1)/(2) int cos 3 pi x d x + (1)/(2) int cos 5 pi x d x = (1)/(6 pi) s e n (3 pi x) + (1)/(1 0 pi) s e n (5 pi x) + K

Resposta

int cos pi x cos 4 pi x d x = (1)/(6 pi) s e n (3 pi x) + (1)/(1 0 pi) s e n (5 pi x) + K

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