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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 46

Calcula a integral

int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 - cos (4 theta)) d theta

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Vamos fazer uma mudança de variáveis que vai facilitar nossa vida, beleza? Vamo chamar

u = 4 theta d u = 4 d theta

Mudando os limites de integração,

theta = 0 => u = 0 e theta = (pi)/(4) => u = (4 pi)/(4) = pi

Sendo assim,

int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 - cos (4 theta)) d theta = int_0^(pi) sqrt(1 - cos (u)) (1)/(4) d u = (1)/(4) int_0^(pi) sqrt(1 - cos (u)) d u

Passo 2

Até agora parece que o problema ainda está vivo, mas veja só, temos a identidade que vai nos ajudar muito ó

(1 - cos u)/(2) = s e n^2 ((u)/(2)) => 1 - cos u = 2 s e n^2 ((u)/(2))

Substituindo,

(1)/(4) int_0^(pi) sqrt(1 - cos (u)) d u = (1)/(4) int_0^(pi) sqrt(2 s e n^2 ((u)/(2)) ) d u = (1)/(4) int_0^(pi) sqrt(2) s e n ((u)/(2)) d u

Integrando,

(1)/(4) int_0^(pi) sqrt(2) s e n ((u)/(2)) d u = (sqrt(2))/(4) * 2 cos ((u)/(2)) (​|_0^(pi)

Aplicando os limites de integração,

(sqrt(2))/(4) * 2 cos ((u)/(2)) (​|_0^(pi) = (sqrt(2))/(2) [cos (pi)/(2) - cos 0] = - (sqrt(2))/(2) = - (1)/(sqrt(2))

Resposta

int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 - cos (4 theta)) d theta = (1)/(sqrt(2))

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