Calcula a integral

∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 θ   d θ

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Vamos fazer uma mudança de variáveis que vai facilitar nossa vida, beleza? Vamo chamar

u = 4   θ   d u = 4   d θ

Mudando os limites de integração,

θ = 0 ⇒ u = 0 e θ = π 4 ⇒ u = 4 π 4 = π

Sendo assim,

∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 θ   d θ = ∫ 0 π   1 - cos ⁡ u 1 4 d u   = 1 4 ∫ 0 π   1 - cos ⁡ u d u  

Passo 2

Até agora parece que o problema ainda está vivo, mas veja só, temos a identidade que vai nos ajudar muito ó

1 - cos ⁡ u   2 = s e n 2 u 2   ⇒   1 - cos ⁡ u   = 2   s e n 2 u 2    

Substituindo,

1 4 ∫ 0 π   1 - cos ⁡ u d u   = 1 4 ∫ 0 π   2   s e n 2 u 2   d u     =   1 4 ∫ 0 π   2   s e n   u 2   d u

Integrando,

1 4 ∫ 0 π   2   s e n   u 2   d u = 2 4 ⋅ 2 cos ⁡ u 2 ​ 0 π

Aplicando os limites de integração,

2 4 ⋅ 2 cos ⁡ u 2 ​ 0 π = 2 2   cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0   =   - 2 2 =   - 1 2

Resposta

∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 θ   d θ = 1 2

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