Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 13

Calcule a integral

int_()^() t . s e n^2 t . d t

Passo 1

Fala aí! Partiu calcular essa integral!!

Vamos começar lembrando uma relação trigonométrica, que vai ser importante pra gente, essa aqui olha:

s e n^2 t = (1 - c o s (2 t))/(2)

Substituindo isso na nossa integral vamos ficar com:

int_()^() t . ((1 - c o s (2 t))/(2)) . d t

int_()^() (t - t . c o s (2 t))/(2) . d t

(1)/(2) . int_()^() t - t . c o s (2 t) . d t

E separando em duas integrais para ficar mais tranquilo, vamos ter que resolver essa integral:

(1)/(2) (int_()^() t d t - int_()^() t c o s (2 t) d t)

Passo 2

Agora podemos esquecer esse (1)/(2) por enquanto e focar nas integrais, no final a gente pega o resultado e multiplica por ele! 😊

Começando pela primeira:

int_()^() t d t

int_()^() t d t = (t^2)/(2)

Show? Vamos continuar!

Passo 3

Agora vamos resolver a próxima integral!

int_()^() t c o s (2 t) d t

Humm… Temos uma multiplicação ali, né? Bom, então vamos usar integração por partes!

Lembrando que a integração por partes é desse jeitão aqui:

int_()^() u d v = u v - int_()^() v d u

Bom, trazendo pra nossa integral, vamos chamar:

u = t d u = d t

d v = c o s (2 t) v = (s e n (2 t))/(2)

Vamos ficar então com:

int_()^() t . c o s (2 t) d t = t . (s e n (2 t))/(2) - int_()^() (s e n (2 t))/(2) . d t

int_()^() t . c o s (2 t) d t = (t . s e n (2 t))/(2) - (1)/(2) . int_()^() s e n (2 t) . d t

Aí a gente precisa lembrar que:

int_()^() s e n (2 t) . d t = - (c o s (2 t))/(2)

Substituindo isso na nossa equação vamos ter:

int_()^() t . c o s (2 t) d t = (t . s e n (2 t))/(2) - (1)/(2) . (- (c o s (2 t))/(2))

int_()^() t . c o s (2 t) d t = (t . s e n (2 t))/(2) + (c o s (2 t))/(4)

Beleza!

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na nossa equação principal, ok?

int_()^() t . s e n^2 t . d t = (1)/(2) (int_()^() t d t - int_()^() t c o s (2 t) d t)

int_()^() t . s e n^2 t . d t = (1)/(2) [(t^2)/(2) - ((t . s e n (2 t))/(2) + (c o s (2 t))/(4))]

int_()^() t . s e n^2 t . d t = (1)/(2) [(t^2)/(2) - (t . s e n (2 t))/(2) - (c o s (2 t))/(4)]

Sem esquecer da constante no final, vamos ter então:

int_()^() t . s e n^2 t . d t = (t^2)/(4) - (t . s e n (2 t))/(4) - (c o s (2 t))/(8) + C

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

(t^2)/(4) - (t . s e n (2 t))/(4) - (c o s (2 t))/(8) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefindaint (x d x)/(x^2 + x + 1)
Calcule a integral definidaint_0^1 (d x)/(e^x + e^(- x))
Calcule a integral indefindaint_2^5 (d x)/(x^2 - 4 x + 3)
Calcule a integral definidaint_(- 4)^(- 2) (d t)/(sqrt(- t^2 - 6 t - 5))
Calcule a integral indefindaint (2 x^3 d x)/(2 x^2 - 4 x + 3)