Calcule a integral

∫ t   .   s e n 2 t   .   d t  

Passo 1

Fala aí! Partiu calcular essa integral!!

Vamos começar lembrando uma relação trigonométrica, que vai ser importante pra gente, essa aqui olha:

s e n 2 t = 1 - c o s   2 t   2

Substituindo isso na nossa integral vamos ficar com:

∫ t   .   1 - c o s   2 t   2   .   d t

∫ t   -   t   .   c o s 2 t 2   .   d t

1 2   .   ∫ t   -   t   .   c o s 2 t   .   d t

E separando em duas integrais para ficar mais tranquilo, vamos ter que resolver essa integral:

1 2 ∫ t   d t - ∫ t c o s 2 t d t

Passo 2

Agora podemos esquecer esse 1 2 por enquanto e focar nas integrais, no final a gente pega o resultado e multiplica por ele! 😊

Começando pela primeira:

∫ t   d t

∫ t   d t = t 2 2

Show? Vamos continuar!

Passo 3

Agora vamos resolver a próxima integral!

∫ t c o s 2 t d t

Humm… Temos uma multiplicação ali, né? Bom, então vamos usar integração por partes!

Lembrando que a integração por partes é desse jeitão aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v   d u

Bom, trazendo pra nossa integral, vamos chamar:

u = t d u = d t

d v = c o s 2 t v = s e n   2 t 2

Vamos ficar então com:

∫ t   .   c o s 2 t   d t = t   .   s e n   2 t 2 - ∫ s e n   2 t 2   .   d t

∫ t   .   c o s 2 t   d t = t . s e n   2 t 2 -   1 2   .   ∫ s e n   2 t   .   d t

Aí a gente precisa lembrar que:

∫ s e n   2 t   .   d t =   - c o s   2 t 2

Substituindo isso na nossa equação vamos ter:

∫ t   .   c o s 2 t   d t =   t . s e n   2 t 2 -   1 2   .   - c o s   2 t 2

∫ t   .   c o s 2 t   d t = t . s e n   2 t 2 + c o s   2 t 4

Beleza!

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na nossa equação principal, ok?

∫ t   .   s e n 2 t   .   d t   = 1 2 ∫ t   d t - ∫ t c o s 2 t d t

∫ t   .   s e n 2 t   .   d t   = 1 2 t 2 2 - t . s e n   2 t 2 + c o s   2 t 4

∫ t   .   s e n 2 t   .   d t   = 1 2 t 2 2 - t . s e n   2 t 2 - c o s   2 t 4

Sem esquecer da constante no final, vamos ter então:

∫ t   .   s e n 2 t   .   d t   = t 2 4 - t . s e n   2 t 4 - c o s   2 t 8 + C

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

t 2 4 - t . s e n   2 t 4 - c o s   2 t 8 + C

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