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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 28

Calcula a integral

int t g^5 x sec^3 x d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Passo 2

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

sec^2 x = [t g^2 x + 1]

sec^2 x - 1 = t g^2 x

Elevando ambos os lados ao quadrado

(sec^2 x - 1)^2 = t g^4 x

Então, substituindo na integral,

int t g^5 x sec^3 x d x = int t g x sec^3 x t g^4 x d x

= int t g x sec^3 x [sec^2 x - 1]^2 d x

Passo 3

Para facilitar nossa vida, vamos fazer uma substituição,

u = sec x

d u = sec x t g x d x

Daí,

int t g x sec^3 x [sec^2 x - 1]^2 d x = int u^2 (u^2 - 1)^2 d u

Abrindo as contas:

int u^2 [u^4 - 2 u^2 + 1] d u = int [ u^6 - 2 u^4 + u^2 ] d u

Pelas propriedades de integral,

int [ u^6 - 2 u^4 + u^2 ] d u = (u^7)/(7) - (2)/(5) u^5 + (u^3)/(3) + C

Voltando agora com a substituição inicial:

= (1)/(7) sec^7 x - (2)/(5) sec^5 x + (1)/(3) sec^3 x + C

Resposta

int t g^5 x sec^3 x d x = (1)/(7) sec^7 x - (2)/(5) sec^5 x + (1)/(3) sec^3 x + C

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