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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 50

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

50 )   2 x y + 4 x - 3 y + 6 = 0

Passo 1

Dessa forma a gente n resolve, então bora escrever isso primeiro como y x , belê?:

2 x y + 4 x - 3 y + 6 = 0

y 2 x - 3 + 4 x + 6 = 0

y 2 x - 3 = - 4 x + 6

y x = - 4 x + 6 2 x - 3

Passo 2

Partiu achar as assíntotas horizontais então. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, ok?

lim x → ± ∞ ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = lim x → ± ∞ ⁡ - x 4 + 6 x x 2 - 3 x = lim x → ± ∞ ⁡ - 4 + 6 x 2 - 3 x

Vamos ter:

lim x → ± ∞ ⁡ - 4 + 6 x 2 - 3 x = - 4 + 0 2 - 0 = - 2

Limites deram números? Então show, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. No caso, limites laterais pra x = 3 2 , único ponto que zera o denominador:

lim x → 3 2 + ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - 12 0 + = - ∞

lim x → 3 2 - ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - 12 0 - = + ∞

Se os limites explodiram então temos duas assíntotas verticais:

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - 2

lim x → 3 2 + ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - ∞

lim x → 3 2 - ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = + ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - 2

lim x → 3 2 + ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = - ∞

lim x → 3 2 - ⁡ - 4 x + 6 2 x - 3 = + ∞

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