Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.

9 - y = c * e^(-x)

Passo 1

y = c e - x

c = y e - x

Assim derivando:

e - x y ' - y ( e - x ) ( - 1 ) e - x 2 = 0

e - x y ' - y e - x - 1 e - x 2 = 0 e - x 2

e - x y ' + y e - x = 0

e - x y ' =   - e - x y

y ' = - e - x y e - x ,   y ' =   - y

Para a ortogonalidade, teremos:

d y d x = 1 y

Assim:

y   d y = d x

Precisaredmos integrar a função:

∫ y   d y = ∫ d x

A s s i m :

y 2 2 = x + c

Assim:

y 2 = 2 x + c

y = ± 2 x + c

Resposta

y = ± 2 x + c

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