Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

59. y = (t^2 / (t^3 - 4t))^3

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função precisaremos de duas regras: a regra da cadeia e a regra do quociente (considerando que seja bem trivial a regra da potenciação), ok? A regra da cadeia utilizaremos para derivar a função mais externa, que está elevada ao cubo. No entanto, uma hora ou outra precisaremos encontrar a derivada da função mais interna, que é aquela divisão ali. A regra do quociente nos diz o seguinte:

g =   u v

g ' = u ' . v - u . v ' v ²

Onde v e u são funções de t , beleza? Sabendo disso, já conseguimos derivar esse trem aí de boas, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivarmos a função mais externa, teremos:

d y d t = 3 . t 2 t 3 - 4 t 2 . t 2 t 3 - 4 t '

Como já comentado, só precisamos determinar agora a derivada daquela divisão, ok? Fazendo:

u = t 2 ⇒ u ' = 2 t

v = t 3 - 4 t ⇒ v ' = 3 t 2 - 4

Passo 3

Agora que temos todos os valores, basta que utilizemos a regra do quociente para determinar a derivada dessa divisão. Fazendo isso, temos que:

g ' = u ' . v - u . v ' v ²

g ' = 2 t . t 3 - 4 t - t 2 . ( 3 t 2 - 4 ) ( t 3 - 4 t ) ²

Substituindo em d y d t , teremos:

d y d t = 3 . t 2 t 3 - 4 t 2 . t 2 t 3 - 4 t '

d y d t = 3 . t 2 t 3 - 4 t 2 . 2 t . t 3 - 4 t - t 2 . 3 t 2 - 4 t 3 - 4 t 2

Fazendo as devidas simplificações, teremos:

d y d t = 6 t 5 ( t ³ - 4 t ) ³ - 3 t 6 . ( 3 t 2 - 4 ) ( t 3 - 4 t ) 4

Resposta

d y d t = 6 t 5 ( t ³ - 4 t ) ³ - 3 t 6 . ( 3 t 2 - 4 ) ( t 3 - 4 t ) 4

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