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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 59

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

59. y = ( (t^2)/(t^3 - 4 t) )^³

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função precisaremos de duas regras: a regra da cadeia e a regra do quociente (considerando que seja bem trivial a regra da potenciação), ok? A regra da cadeia utilizaremos para derivar a função mais externa, que está elevada ao cubo. No entanto, uma hora ou outra precisaremos encontrar a derivada da função mais interna, que é aquela divisão ali. A regra do quociente nos diz o seguinte:

g = (u)/(v)

g^' = (u^' . v - u . v ')/(v ²)

Onde v e u são funções de t , beleza? Sabendo disso, já conseguimos derivar esse trem aí de boas, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivarmos a função mais externa, teremos:

(d y)/(d t) = 3 . ((t^2)/(t^3 - 4 t))^2 . ((t^2)/(t^3 - 4 t)) '

Como já comentado, só precisamos determinar agora a derivada daquela divisão, ok? Fazendo:

u = t^2 => u^' = 2 t

v = t^3 - 4 t => v^' = 3 t^2 - 4

Passo 3

Agora que temos todos os valores, basta que utilizemos a regra do quociente para determinar a derivada dessa divisão. Fazendo isso, temos que:

g^' = (u^' . v - u . v ')/(v ²)

g^' = (2 t . (t^3 - 4 t) - t^2 . ( 3 t^2 - 4 ))/(( t^3 - 4 t ) ²)

Substituindo em (d y)/(d t) , teremos:

(d y)/(d t) = 3 . ((t^2)/(t^3 - 4 t))^2 . ((t^2)/(t^3 - 4 t)) '

(d y)/(d t) = 3 . ((t^2)/(t^3 - 4 t))^2 . ((2 t . (t^3 - 4 t) - t^2 . (3 t^2 - 4))/((t^3 - 4 t)^2))

Fazendo as devidas simplificações, teremos:

(d y)/(d t) = (6 t^5)/(( t^³ - 4 t ) ³) - (3 t^6 . ( 3 t^2 - 4 ))/(( t^3 - 4 t )^4)

Resposta

(d y)/(d t) = (6 t^5)/(( t^³ - 4 t ) ³) - (3 t^6 . ( 3 t^2 - 4 ))/(( t^3 - 4 t )^4)

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