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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 22

Ache a derivada da função dada.

g (x) = root(3)((3 x^2 + 5 x - 1)^2)

Passo 1

Devemos encontrar a derivada da função. Como se trata de um exercício para treinar técnicas de derivação, não vamos nos preocupar com o domínio da função e de sua derivada.

Antes de derivar, vamos escrever a raiz como uma potência fracionária:

g (x) = (3 x^2 + 5 x - 1)^((2)/(3))

Usando a regra da cadeia em conjunto com a regra do tombo:

g^' (x) = (2)/(3) (3 x^2 + 5 x - 1)^((2)/(3) - 1) * (3 x^2 + 5 x - 1)^'

Assim,

g^' (x) = (2)/(3) (3 x^2 + 5 x - 1)^(- (1)/(3)) * (3 x^2 + 5 x - 1)^'

Passo 2

Como (3 x^2 + 5 x - 1)^' = 6 x + 5 , temos que

g^' (x) = (2 ( 6 x + 5 ))/(3 (3 x^2 + 5 x - 1)^(1 // 3))

Voltando a notação de raiz:

g^' (x) = (2 ( 6 x + 5 ))/(3 root(3)(3 x^2 + 5 x - 1))

Resposta

g^' (x) = (2 ( 6 x + 5 ))/(3 root(3)(3 x^2 + 5 x - 1))

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