Enunciado

Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cada caso de descontinuidade, por que a Definição 2,6,1 não é satisfeita.

62)   f x = x 2 - 9 ,   s e   x < 3 5 ,   s e   x = 3 9 - x 2 ,   s e   x > 3

Passo 1

Precisamos avaliar os limites laterais do valor limítrofe das condições ( x = 3 ) para entender como a função se comporta na região desses valores.

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = 0

Passo 2

O gráfico da função   f x = x 2 - 9 ,   s e   x < 3 5 ,   s e   x = 3 9 - x 2 ,   s e   x > 3 será:

Passo 3

Agora vamos verificar as condições da Definição 2.6.1

Para x = 3

  1. f ( 3 ) = 5  
  2. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 0
  3. lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≠ f ( 3 )

Como a condição (iii) não foi satisfeita, a função é descontínua.

Resposta

Gráfico da função:

A função é descontínua em x = 3

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