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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 60

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.

60

∫ s e n 3 ѳ ⋅ c o s 2 ѳ   d ѳ

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas.

Passo 2

As relações que vamos usar são

c o s 2 ѳ = 2 c o s 2 ѳ - 1

s e n 2 ѳ = 1 - c o s 2 ѳ

Passo 3

Nossa integral vai ficar assim

∫ s e n 3 ѳ ⋅ c o s 2 ѳ   d ѳ = ∫ s e n 2 ѳ ⋅ c o s 2 ѳ ⋅ s e n ѳ = ∫ 1 - c o s 2 ѳ ⋅ 2 c o s 2 ѳ - 1 ⋅ s e n ѳ   d ѳ

Depois que simplificarmos os termos teremos

∫ - 2 c o s 4 ѳ + 3 c o s 3 ѳ - 1 s e n ѳ   d ѳ = - 2 ∫ c o s 4 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ + 3 ∫ c o s 2 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ - ∫ s e n ѳ   d ѳ

Passo 4

Para calcular a integral, basta usar uma substituição onde

u = c o s ѳ d u = - s e n ѳ d ѳ

E aí teremos

∫ c o s 4 ѳ ⋅ s e n ѳ   d ѳ = - 1 5 c o s 5 ѳ + C

∫ c o s 3 ѳ ⋅ s e n ѳ = - 1 3 c o s 3 ѳ + C

Passo 5

A terceira integral é mais simples, basta lembrar que

∫ s e n ѳ d ѳ = - c o s ѳ + C

Passo 6

Somando tudo

4 5 c o s 5 ѳ - c o s 3 ѳ + c o s ѳ + C

Resposta

2 5 c o s 5 ѳ - c o s 3 ѳ + c o s ѳ + C

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