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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 13

Avalie a integral.

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

int_0^((pi)/(4)) sin^2 x (sin x cos x)^2 d x

Podemos tornar o seno aplicando sin^2 x = (1)/(2) ( 1 - cos 2 x ) , da seguinte forma:

= int_0^((pi)/(4)) (1)/(2) ( 1 - cos 2 x ) ((1)/(2) sin 2 x)^2 d x

= int_0^((pi)/(4)) (1)/(8) (1 - cos 2 x) sin^2 2 x d x

= (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) (1 - cos 2 x) sin^2 2 x d x - (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) cos 2 x sin^2 2 x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando a integral, fica assim:

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) (1 - cos 2 x) sin^2 2 x d x - (1)/(8) int_0^((pi)/(4)) cos 2 x sin^2 2 x d x

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(16) int_0^((pi)/(4)) (1 - cos 4 x) d x - (1)/(16) [(1)/(3) sin^3 2 x]_0^((pi)/(4))

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(16) int_0^((pi)/(4)) (1 - cos 4 x) d x - (1)/(16) [(1)/(3) sin^3 2 x]_0^((pi)/(4))

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(16) [x - (1)/(4) sin 4 x - (1)/(3) sin^3 2 x]_0^((pi)/(4))

Substituindo os intervalos:

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(16) [ (pi)/(4) - (1)/(4) sin 4 xx (pi)/(4) - (1)/(3) sin^3 2 ((pi)/(4)) - (0 - (1)/(4) sin 4 xx 0 - (1)/(3) sin^3 2 xx 0 )]

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(16) [(pi)/(4) - 0 - (1)/(3)]

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(192) ( 3 pi - 4 )

Finishh!! :)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) si n^4 x cos^2 x d x = (1)/(192) ( 3 pi - 4 )

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