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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 9.3 - Ex. 07

Resolva a equação diferencial.

7. (d y)/(d t) = (t e^t)/(y sqrt(1 + y^2))

Passo 1

Nessa questão, temos uma EDO separável, podemos resolver ela deixando de um dos lados termos com t e do outro lado termos com y , separando os dois, então podemos integrá-la de ambos os lados, dessa forma:

(d y)/(d t) = (t e^t)/(y sqrt(1 + y^2))

y sqrt(1 + y^2) d y = t e^t d t

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de t , assim:

int y sqrt(1 + y^2) d y = int t e^t d t

Passo 2

Vamos usar o método da substituição do lado esquerdo para resolver a integral, chamando u = 1 + y^2 , d u = 2 y d y

int y sqrt(1 + y^2) d y = int (sqrt(u))/(2) d u = (1)/(3) u^((2)/(3)) = (1)/(3) ( 1 + y^2 )^((2)/(3)) + C

Não esqueça da constante C !

Passo 3

Na integral do lado direito vamos ter que utilizar o método da integração por partes (para lembrar: int u d v = u v - int v d u ). Nesse caso chamaremos u = t e e^t d t = d v . Então d u = d t e e^t = v , usando a fórmula da integração por partes ficamos com

int t e^t d t = t e^t - int e^t d t

int t e^t d t = t e^t - e^t = e^t (t - 1) + C

Passo 4

Bom, agora que já sabemos o resultado das integrais de ambos os lados, basta igualá-las, assim:

int y sqrt(1 + y^2) d y = int t e^t d t

(1)/(3) ( 1 + y^2 )^((2)/(3)) = e^t (t - 1) + C

1 + y^2 = [ 3 e^t (t - 1) + C ]^((3)/(2))

y^2 = [ 3 e^t (t - 1) + C ]^((3)/(2)) - 1

y = +- sqrt([ 3 e^t (t - 1) + C ]^((3)/(2)) - 1)

Resposta

7. y = +- sqrt([ 3 e^t (t - 1) + C ]^((3)/(2)) - 1)

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