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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 11

Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

y = 2 x - 1 ,   y = x ,   x = 0

Passo 1

Lembrando do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a diferença entre as curvas y = 2 x - 1 e y = x .

Assim,

V = ∫ 0 1 2 π x x - 2 x - 1 d x = 2 π ∫ 0 1 x x - 2 x + 1 d x = 2 π ∫ 0 1 x 3 / 2 - 2 x 2 + x d x

Passo 2

Calculando a integral:

V = 2 π ∫ 0 1 x 3 / 2 - 2 x 2 + x d x = 2 π x 5 / 2 5 / 2 - 2 x 3 3 + x 2 2 0 1

V = 2 π 2 x 5 / 2 5 - 2 x 3 3 + x 2 2 0 1 = 2 π 2 ∙ 1 5 / 2 5 - 2 ∙ 1 3 3 + 1 2 2 - 2 ∙ 0 5 / 2 5 - 2 ∙ 0 3 3 + 0 2 2

V = 2 π 2 5 - 2 3 + 1 2 = 2 π 12 - 20 + 15 30 = 7 π 15

Resposta

7 π 15

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