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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.3 - Ex. 31

Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

∫ 0 1 2 π ( 3 - y ) ( 1 - y 2 ) d y

Passo 1

E aí, galerinha! 😬

Nesse problema foi dada uma integral definida e nosso objetivo é basicamente descrever o volume do solido que é formado por ela.

Parece complicado? 👀

Primeiro vamos reescrever a nossa integral da seguinte maneira

∫ 0 1 2 π ( 3 - y ) ( 1 - y 2 ) d y = 2 π ∫ 0 1 3 - y 2 - y + y 3 d y

2 π ∫ 0 1 y y 2 - y + 3 y - 1 d y

Essa disposição da integral te lembra alguma coisa? Nenhum método de integral de revolução?

Veja só! 😉

Passo 2

Podemos perceber que o sólido é obtido pela rotação da região 0 ≤ x ≤ y 2 - y + 3 y - 1 , 0 ≤ y ≤ 1 sobre o eixo y usando cascas cilíndricas.

Isso porque para cada valor de y no intervalo 0 , 1 , estamos multiplicando 2 π y que faz papel do comprimento de circunferência vezes y 2 - y + 3 y - 1 que faz o papel da altura.

Ao somar (no caso, integrar) tudo isso temos a rotação da curva 0 ≤ x ≤ y 2 - y + 3 y - 1 no intervalo 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo x .

Portanto, o volume gerado pela integral do enunciado é o volume do solido de revolução limitado pela area entre x = y 2 - y + 3 y - 1 e x = 0 com y variando entre 0 e 1 .

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

O volume gerado pela integral do enunciado é o volume do solido de revolução limitado pela area entre x = y 2 - y + 3 y - 1 e x = 0 com y variando entre 0 e 1 .

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