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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 8

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.

a s   p a r á b o l a s   x = y 2 - 1   e   x = 2 y 2 - 2

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço das funções, temos:

Analisando a figura, vemos que - 1 ≤ y ≤ 1 e como x é dado em função de y, 2 y 2 - 1 ≤ x ≤ y 2 - 1 . Logo:

∫ - 1 1 ∫ 2 y 2 - 1 y 2 - 1 d x   d y

Passo 2

∫ - 1 1 ( y 2 - 1 - 2 y 2 - 1 d y

∫ - 1 1 1 - y 2 d y

y - 1 3 y 3 - 1 1

1 - 1 3 - - 1 + 1 3

2 3 + 2 3

4 3

Resposta

A = 4 3

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Calcule a integral dupla. ∬ D y 2 d A , Déar e g i ã ot r i a n g u l a rc o mv é r t i c e s0,1 , 1,2 , ( 4,1 ) é ã é
∫ 0 4 ∫ 0 y - x y 2 d x d y
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D 2 + x 2 y 3 + y 2 sen ⁡ x d A D = x , y |x ≤ y ≤ 1 .
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y 2 e x y d A D é limitada por y = x
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla. ∬ D 2 x + 3 y d A ,Déor e t â n g u l o0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b é â