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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 31

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

31. y = x^2 + [x^3 + (x^4 + x)^2]^3

Passo 1

Precisamos apenas derivar a equação com relação a x:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) {x^2 + [x^3 + (x^4 + x)^2]^3}

Primeiro separamos em dois termos:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2) + (d)/(d x) {[x^3 + (x^4 + x)^2]^3}

A derivada da esquerda pode ser resolvida diretamente:

(d)/(d x) (x^2) = 2 x

Passo 2

Na derivada da direita precisaremos aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora:

(d)/(d t) (t^3) = 3 t^2

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

3 [x^3 + (x^4 + x)^2]^2 (d)/(d x) [x^3 + (x^4 + x)^2]

A derivada que apareceu pode ser separada:

(d)/(d x) [x^3 + (x^4 + x)^2] = (d)/(d x) (x^3) + (d)/(d x) [(x^4 + x)^2]

A primeira resolvemos diretamente:

(d)/(d x) (x^3) = 3 x^2

E a segunda precisaremos aplicar a Regra da Cadeia mais uma vez:

(d)/(d x) [(x^4 + x)^2] = 2 (x^4 + x) (d)/(d x) (x^4 + x)

Derivando o final diretamente ficaremos com:

(d)/(d x) [(x^4 + x)^2] = 2 (x^4 + x) ( 4 x^3 + 1 )

Substituindo na derivada anterior:

(d)/(d x) [x^3 + (x^4 + x)^2] = 3 x^2 + 2 (x^4 + x) ( 4 x^3 + 1 )

E então substituímos na derivada que apareceu quando aplicamos a Regra da Cadeia pela primeira vez:

3 [x^3 + (x^4 + x)^2]^2 (d)/(d x) [x^3 + (x^4 + x)^2] = 3 [x^3 + (x^4 + x)^2]^2 [3 x^2 + 2 (x^4 + x) ( 4 x^3 + 1 )]

Passo 3

Agora podemos substituir os resultados lá no Passo 1:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2) + (d)/(d x) {[x^3 + (x^4 + x)^2]^3}

(d y)/(d x) = 2 x + 3 [x^3 + (x^4 + x)^2]^2 [3 x^2 + 2 (x^4 + x) ( 4 x^3 + 1 )]

Resposta

(d y)/(d x) = 2 x + 3 [x^3 + (x^4 + x)^2]^2 [3 x^2 + 2 (x^4 + x) ( 4 x^3 + 1 )]

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