Escreva a função composta na forma f(g(x)) . [Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u) .] Então encontre a derivada dy / dx .

y = tan(sen(x))

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pediu para gente escrever a função composta na forma f g x , identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) . E então encontrar a derivada d y / d x .

Sendo a função dada por:

y = tan ⁡ sin ⁡ x  

Dessa forma, faremos exatamente o que foi pedido.

Chamaremos

u = g x = sin ⁡ x

Que é a função de dentro. E

y = f u = tan ⁡ u

A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' u ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.

Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas parte para substituir na regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a função de fora. Sendo

y = f u = tan ⁡ u

E a função tangente é uma daquelas de derivação tabelada, sendo assim, precisaremos lembrar que sua derivada é dada por:

f ' u = sec 2 ⁡ u

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo

u = g x = sin ⁡ x

Essa também é uma derivada tabelada e seu valor é dado por:

g ' x = d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x

Agora basta substituir tudo na regra da cadeia.

Passo 4

A derivada da função composta é:

d y d x = d d x   f g x = f ' u ⋅ g ' x

d y d x = d d u t g   u   .   d d x   s e n   x

d y d x = s e c 2 u   .   c o s   x  

E sendo u = s e n   x   então:

d y d x = s e c 2 s e n   x   .   c o s   x  

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

g ( x ) = s e n   x y = f u = t g   u

d y d x = s e c 2 s e n   x   .   c o s   x

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