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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 30

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

30 )   g x = cosh ⁡ x x

Passo 1

Primeiramente precisamos manipular a função para que possamos derivá-la:

ln ⁡ g ( x ) = ln ⁡ cosh ⁡ x x

Pelas propriedades do ln:

ln ⁡ g ( x ) = x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x )

Derivando o primeiro termo:

g ' x = D x ( ln ⁡ g x )

g ' x = 1 g ( x )

Lembrando do Teorema 8.4.3:

D x   cos h ⁡ u = s e n h   u . D x u

Então:

D x x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) = 1 . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . D x ( ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) )

D x x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . 1 cosh ⁡ x ) D x ( cosh ⁡ x )

D x x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . 1 cosh ⁡ x . s e n h   x

D x x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . t g h   x

Sendo assim,

g ' x = 1 g ( x ) = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . t g h   x

g ' x = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . t g h   x . g ( x )

g ' x = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . t g h   x . cosh ⁡ x x

Resposta

g ' ( x ) = ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + x . t g h   x . cosh ⁡ x x

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