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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 29

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

2 9 )   f x = x s e n h   x ,   x > 0

Passo 1

Primeiramente precisamos manipular a função para que possamos derivá-la:

ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ x s e n h   x

Pelas propriedades do ln:

ln ⁡ f ( x ) = s e n h   x . ln ⁡ x

Derivando o primeiro termo:

f ' x = D x ( ln ⁡ f x )

f ' x = 1 f ( x )

Lembrando do Teorema 8.4.3:

D x   sen h ⁡ u = c o s h   u . D x u

Então:

D x s e n h   x . ln ⁡ x = 1 x . s e n h   x + ln ⁡ x . D x ( s e n h   x )

D x s e n h   x . ln ⁡ x = 1 x . s e n h   x + ln ⁡ x . c o s h   x

Sendo assim,

f ' x = 1 f ( x ) = 1 x . s e n h   x + ln ⁡ x . c o s h   x

f ' x = 1 x . s e n h   x + ln ⁡ x . c o s h   x . f ( x )

f ' x = 1 x . s e n h   x + ln ⁡ x . c o s h   x . x s e n h   x

f ' x = s e n h   x + x . ln ⁡ x . c o s h   x . x s e n h   x x

f ' x = s e n h   x + x . ln ⁡ x . c o s h   x . x s e n h   x - 1

Resposta

f ' ( x ) = s e n h   x + x . ln ⁡ x . c o s h   x . x s e n h   x - 1

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