Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

f x = x + | x - 1 |

Passo 1

Observe que f é a soma do módulo de funções polinomiais. Como o domínio de uma função polinomial são os números reais, temos que o domínio de f também será. Assim, D f = R .

Passo 2

Como f é a soma do módulo de funções polinomiais, temos que a sua imagem será todos os números reais, ou seja, I m = R .

Passo 3

Vamos fazer o estudos dos módulos que compõe f .

| x | = x , s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

x - 1 = x - 1 ,   s e   x ≥ 1 - x + 1 ,   s e   x < 1

Agora vamos analisar o comportamento de f para cada intervalo de x .

→ x < 0 :

f x = - x - x + 1 ⇒

f x = - 2 x + 1

→ 0 ≤ x < 1 :

f x = x - x + 1 ⇒

f x = 1

→ x ≥ 1 :

f x = x + x - 1 ⇒

f x = 2 x - 1

Logo, temos

f x = - 2 x + 1 ,   s e   x < 0 1 ,   s e   0 ≤ x < 1 2 x - 1 ,   s e   x ≥ 1

Para fazer o gráfico de f basta considerar cada um desses intervalos de x e traçar as respectivas retas.

Resposta

Portanto, o domínio de f é D f = R , a imagem é I m = R e o gráfico será dado por

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