Ache a derivada da função f(x) = (cosh x)^(1/x) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que temos uma função hiperbólica elevada a uma outra função que é um quociente de polinômios. Vamos ver como resolver?

Primeiro de tudo, vamos ter que deixar essa f ( x ) com uma aparência de uma função que sabemos derivar, olha só:

Devemos lembrar que e ln ⁡ f x = f x , a exponencial é a inversa do log.

Sendo assim, podemos escrever

f x = e ln ⁡ cosh ⁡ x 1 x

Agora vou usar a propriedade ln ⁡ a b = b ln ⁡ a em que b = 1 x , e a = cosh ⁡ x . Ficamos então com

f x = e 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x )

Essa f ( x ) , nós sabemos derivar, pessoal. É o e elevado a uma função.

Passo 2

Lembrando que se u é uma função de x , então e u ' = e u ⋅ u ' .

No nosso exemplo, f x = e 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) , logo u = 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' x = e 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = e 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ⏟ f ( x ) ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) '  

Aqui nós observamos que aparece justamente a expressão de f x na derivada.

f ' x = f x ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = cosh ⁡ x 1 x ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) '  

f ' x = cosh ⁡ x 1 x ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) '  

Pronto! Agora é derivar algo que sabemos.

Passo 3

De acordo com o passo 3, precisamos da derivada de 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) . Isso é um produto, então vamos utilizar a fórmula da derivada do produto

h x g x ' = h ' x g x + h x g ' ( x ) .

Utilizando a fórmula, temos

1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = 1 x ' ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x ⋅ ( ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ) '

Agora precisamos derivar algumas funções.

Passo 4

Utilizando a fórmula da derivada de polinômio x n ' = n x n - 1 com n = - 1 , achamos a seguinte derivada

1 x ' = x - 1 ' = - 1 x - 1 - 1 = - 1 x - 2 = - 1 x 2

Agora para achar a derivada ( ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ) ' utilizaremos o fato que se u é uma função de x , então ( ln ⁡ u ) ' = u ' u .

Sendo assim,

ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = cosh ⁡ x ' cosh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x = tanh ⁡ x

Acima utilizamos que cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x e a definição de tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x .

Passo 5

Agora vamos substituir as derivadas em

1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = 1 x ' ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x ( ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ) '

Ficando com

1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = - 1 x 2 ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x tanh ⁡ x

Passo 6

Para terminar, substituimos

1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) ' = - 1 x 2 ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x tanh ⁡ x

na nossa

f ' x = cosh ⁡ x 1 x ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) '  

Ficando com

f ' x = cosh ⁡ x 1 x ⋅ - 1 x 2 ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x tanh ⁡ x

Esse tipo de questão é dá trabalho mesmo, mas o procedimento é sempre esse, no caso de função elevada a outra função, ok? Então é só seguir o passo a passo e matar a questão.

Resposta

f ' x = cosh ⁡ x 1 x ⋅ - 1 x 2 ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) + 1 x tanh ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados