Enunciado

Ache a derivada da função f (x) = (cosh x)^((1)/(x)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que temos uma função hiperbólica elevada a uma outra função que é um quociente de polinômios. Vamos ver como resolver?

Primeiro de tudo, vamos ter que deixar essa f ( x ) com uma aparência de uma função que sabemos derivar, olha só:

Devemos lembrar que e^(ln (f (x))) = f (x) , a exponencial é a inversa do log.

Sendo assim, podemos escrever

f (x) = e^(ln ((cosh x)^((1)/(x))))

Agora vou usar a propriedade ln a^b = b ln a em que b = (1)/(x) , e a = cosh x . Ficamos então com

f (x) = e^((1)/(x) * ln ( cosh x ))

Essa f ( x ) , nós sabemos derivar, pessoal. É o e elevado a uma função.

Passo 2

Lembrando que se u é uma função de x , então (e^u) ' = e^u * u ' .

No nosso exemplo, f (x) = e^((1)/(x) * ln ( cosh x )) , logo u = (1)/(x) * ln ( cosh x ) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

f ' (x) = (e^((1)/(x) * ln ( cosh x )))^' = underset(f ( x ))(ubrace e^((1)/(x) * ln ( cosh x ))) * ((1)/(x) * ln ( cosh x ))^'

Aqui nós observamos que aparece justamente a expressão de f (x) na derivada.

f ' (x) = f (x) * ((1)/(x) * ln ( cosh x ))^' = (cosh x)^((1)/(x)) * ((1)/(x) * ln ( cosh x ))^'

f ' (x) = (cosh x)^((1)/(x)) * ((1)/(x) * ln ( cosh x ))^'

Pronto! Agora é derivar algo que sabemos.

Passo 3

De acordo com o passo 3, precisamos da derivada de (1)/(x) * ln ( cosh x ) . Isso é um produto, então vamos utilizar a fórmula da derivada do produto

(h (x) g (x)) ' = h ' (x) g (x) + h (x) g ' ( x ) .

Utilizando a fórmula, temos

((1)/(x) * ln ( cosh x ))^' = ((1)/(x))^' * ln ( cosh x ) + (1)/(x) * ( ln ( cosh x ) ) '

Agora precisamos derivar algumas funções.

Passo 4

Utilizando a fórmula da derivada de polinômio (x^n) ' = n x^(n - 1) com n = - 1 , achamos a seguinte derivada

((1)/(x))^' = (x^(- 1)) ' = - 1 x^(- 1 - 1) = - 1 x^(- 2) = - (1)/(x^2)

Agora para achar a derivada ( ln ( cosh x ) ) ' utilizaremos o fato que se u é uma função de x , então ( ln (u) ) ' = (u ')/(u) .

Sendo assim,

(ln ( cosh x )) ' = ((cosh x) ')/(cosh x) = (senh x)/(cosh x) = tanh x

Acima utilizamos que (cosh x) ' = senh x e a definição de tanh x = (senh x)/(cosh x) .

Passo 5

Agora vamos substituir as derivadas em

((1)/(x) * ln ( cosh x ))^' = ((1)/(x))^' ln ( cosh x ) + (1)/(x) ( ln ( cosh x ) ) '

Ficando com

((1)/(x) * ln ( cosh x ))^' = - (1)/(x^2) ln ( cosh x ) + (1)/(x) tanh x

Passo 6

Para terminar, substituimos

((1)/(x) * ln ( cosh x ))^' = - (1)/(x^2) ln ( cosh x ) + (1)/(x) tanh x

na nossa

f ' (x) = (cosh x)^((1)/(x)) * ((1)/(x) * ln ( cosh x ))^'

Ficando com

f ' (x) = (cosh x)^((1)/(x)) * (- (1)/(x^2) ln ( cosh x ) + (1)/(x) tanh x)

Esse tipo de questão é dá trabalho mesmo, mas o procedimento é sempre esse, no caso de função elevada a outra função, ok? Então é só seguir o passo a passo e matar a questão.

Resposta

f ' (x) = (cosh x)^((1)/(x)) * (- (1)/(x^2) ln ( cosh x ) + (1)/(x) tanh x)

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