Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 15
Ache a derivada da função .
Passo 1
Analisando a questão, verificamos que temos uma função hiperbólica elevada a uma outra função que é um quociente de polinômios. Vamos ver como resolver?
Primeiro de tudo, vamos ter que deixar essa com uma aparência de uma função que sabemos derivar, olha só:
Devemos lembrar que , a exponencial é a inversa do log.
Sendo assim, podemos escrever
Agora vou usar a propriedade em que , e . Ficamos então com
Essa , nós sabemos derivar, pessoal. É o elevado a uma função.
Passo 2
Lembrando que se é uma função de , então .
No nosso exemplo, , logo e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com
Aqui nós observamos que aparece justamente a expressão de na derivada.
Pronto! Agora é derivar algo que sabemos.
Passo 3
De acordo com o passo 3, precisamos da derivada de . Isso é um produto, então vamos utilizar a fórmula da derivada do produto
.
Utilizando a fórmula, temos
Agora precisamos derivar algumas funções.
Passo 4
Utilizando a fórmula da derivada de polinômio com , achamos a seguinte derivada
Agora para achar a derivada utilizaremos o fato que se é uma função de , então .
Sendo assim,
Acima utilizamos que e a definição de .
Passo 5
Agora vamos substituir as derivadas em
Ficando com
Passo 6
Para terminar, substituimos
na nossa
Ficando com
Esse tipo de questão é dá trabalho mesmo, mas o procedimento é sempre esse, no caso de função elevada a outra função, ok? Então é só seguir o passo a passo e matar a questão.