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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 6

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

6 .     f x = 4 sec ⁡ x - 2 c o s e c ( x )

Passo 1

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos:

1 º   t e r m o - 4 sec ⁡ x

2 º   t e r m o - 2 c o s e c ( x )

Pela trigonometria sabemos:

s e c ⁡ ( x ) =   1 c o s ⁡ ( x )

c o s e c x =   1 s e n ( x )

Ficamos então com:

f x =   4 ⋅ 1 c o s ⁡ ( x ) - 2   ⋅ 1 s e n ( x )

Usaremos a regra do quociente para derivar as funções separadamente e depois iremos subtraí-las.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

1º - Derivada de 4sec(x):

4 c o s x ' =   4 ' ⋅ c o s x -   c o s x ' ⋅ 4 c o s x 2

                                  =   ( 0 ) ⋅ c o s x - ( - s e n x ) ⋅ 4 ( c o s x ) ²

                                  = 4 ⋅ s e n x c o s x 2

                                  = 4 ⋅ s e n x c o s x ⋅ 1 c o s x

Passo 3

2º - Derivada de 2cosec(x):

2 s e n x '     =   2 ' ⋅ s e n x -   s e n x ' ⋅ 2 s e n x 2

                                              = 0 ⋅ s e n x - ( c o s x ) ⋅ 2 ( s e n x ) ²

                                              = - 2 c o s x s e n x 2

                                              = -   2 ⋅ c o s x s e n x ⋅ 1 s e n x

Passo 4

Pela trigonométrica podemos obter as informações:

c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) = c o t g ( x )

s e n   ( x ) c o s ⁡ ( x ) = t g ( x )

E como vimos no Passo 1:

s e c ⁡ ( x ) =   1 c o s ⁡ ( x )

c o s e c x =   1 s e n ( x )

Passo 5

Substituindo no nosso resultamos temos:

4 s e c x   ' = 4 ⋅ s e n x c o s x ⋅ 1 c o s x =   4   t g x   s e c x

2 c o s e c x ' =   - 2 ⋅ c o s x s e n x ⋅ 1 s e n x = -   2   c o t g x   c o s e c x

Passo 6

Por fim, subtraímos as duas derivadas:

f ' x = 4 s e c x ' - 2 c o s e c x '

                      =   4   t g x   s e c x + 2   c o t g x   c o s e c x

Resposta

f ' x = 4   t g ( x )   s e c ⁡ ( x ) + 2   c o t g ( x )   c o s e c ( x )

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