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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 12

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

12 .     f x = x 2 s e n x + 2 x c o s ( x )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função que será:

f ' x = x ² ⋅ s e n x ' + ( 2 x ⋅ c o s x ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos:

1 º   t e r m o - x 2 s e n x

2 º   t e r m o - 2 x c o s ( x )

Usaremos a regra do produto e a derivação polinomial para derivar as funções separadamente e depois iremos somar os termos.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Derivação polinomial:

x a ' = a ⋅ x a - 1

Passo 2

1º - Derivada de   x ² s e n ( x ) :

x ² s e n x ' =   x ² ' ⋅ s e n x + s e n x ' ⋅ x ²

                                        = 2 x 2 - 1 ⋅ s e n x + c o s x ⋅ x ²

                                        = 2 x ⋅ s e n x + x 2 ⋅ c o s x

Passo 3

2º - Derivada de   2 x c o s ( x ):

2 x c o s x ' =   2 x ' ⋅ c o s x + c o s x ' ⋅ 2 x

                                        = 2 ⋅ c o s x + ( - s e n x ) ⋅ 2 x

                                        = 2 ⋅ c o s x - 2 x ⋅ s e n x

Passo 4

Por fim, somamos as duas derivadas:

f ' x = 2 x s e n x + x 2 c o s x + ( 2 c o s x - 2 x s e n x )

                        = 2 x s e n x + x 2 c o s x + 2 c o s x - 2 x s e n x

                        = x 2 c o s x + 2 c o s x

Resposta

f ' x = ( x 2 + 2 ) c o s ( x )

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Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 )