Enunciado

Nos exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.

43)   lim θ → 0 ⁡ c o s e c   3 θ c o t g   θ  

Passo 1

Nós queremos calcular o limite da função c o s e c   3 θ c o t g   θ , quando o θ tender a 0, ou seja, se aproximar do valor 0.

Utilizaremos as razões trigonométricas:

c o t g   θ = c o s   θ s e n   θ

e

c o s e c   3 θ = 1 s e n 3 θ

Então:

c o s e c   3 θ c o t g   θ = 1 s e n 3 θ c o s   θ s e n   θ = s e n θ s e n 3 θ   .   c o s θ

Agora precisamos resolver o limite desta função.

Passo 2

l i m θ → 0 s e n θ s e n 3 θ   .   c o s θ

Multiplicando numerador e denominador por 3 θ e reorganizando:

l i m θ → 0 3 θ . s e n θ 3 θ .   s e n 3 θ   .   c o s θ = l i m θ → 0 3 θ s e n   3 θ   .   l i m θ → 0 s e n   θ θ   .   l i m θ → 0 1 3 . c o s θ

l i m θ → 0 s e n 3 θ 3 θ - 1   .   l i m θ → 0 s e n   θ θ   .   l i m θ → 0 1 3 . c o s θ

Lembrando o limite fundamental:

l i m θ → 0 s e n   θ θ = 1

e l i m θ → 0 s e n   3 θ 3 θ = 1

Então

= 1 - 1   . 1   . 1 3 . l i m θ → 0 1 c o s θ

1 3 . l i m                   θ → 0 1 c o s θ   =   1 3 . 1 = 1 3

Resposta

lim θ → 0 ⁡ c o s e c   3 θ c o t g   θ   = 1 /3

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