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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 18

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x^2)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (1 - cos x) .

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x^2) * ((1 + cos x)/(1 + cos x))

underset(x -> 0)(lim) ((1^2 - cos^2 x)/(x^2 ( 1 + cos x )))

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 x + cos^2 x = 1

sin^2 x = 1 - cos^2 x

underset(x -> 0)(lim) ((sin^2 x)/(x^2 ( 1 + cos x )))

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites e a propriedade da potência de limites.

underset(x -> 0)(lim) ((sin^2 x)/(x^2)) * underset(x -> 0)(l i m) ((1)/(( 1 + cos x )))

(underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x))^2 * underset(x -> 0)(l i m) ((1)/(( 1 + cos x )))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x) = 1 .

(1)^2 * ((1)/(( 1 + cos 0 )))

( 1 ) * ((1)/(( 1 + 1 )))

(1)/(2)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x^2) = (1)/(2)

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