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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 21

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sin x)/((1)/(2) pi - x)

(Sugestão: seja t = (pi)/(2) - x )

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos substituir (pi)/(2) - x por t como sugerido no enunciado e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

t = (pi)/(2) - x

x -> (pi)/(2) => t -> 0

underset(t -> 0)(lim) (1 - sin ((pi)/(2) - t))/(t)

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de arco complementar cos t = sin ((pi)/(2) - t) .

underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t)

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (1 - cos t) .

underset(t -> 0)(lim) (1 - cos t)/(t) * ((1 + cos t)/(1 + cos t))

underset(t -> 0)(lim) (1^2 - cos^2 t)/(t (1 + cos t))

Passo 4

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 t + cos^2 t = 1

sin^2 t = 1 - cos^2 t

underset(t -> 0)(lim) (sin^2 t)/(t (1 + cos t))

(underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t)) (underset(t -> 0)(lim) (sin t)/((1 + cos t)))

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t) = 1 .

(1) (sin (0))/((1 + cos ( 0 )))

(1) (0)/((1 + 1))

0

Resposta

underset(x -> (pi)/(2))(lim) (1 - sin x)/((1)/(2) pi - x) = 0

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