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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 11

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 4 x)/(x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (1 - cos 4 x) .

underset(x -> 0)(lim) ((1 - cos 4 x)/(x)) * ((1 + cos 4 x)/(1 + cos 4 x))

underset(x -> 0)(lim) ((1^2 - cos^2 4 x)/(x ( 1 + cos 4 x )))

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 theta + cos^2 theta = 1

sin^2 4 x + cos^2 4 x = 1

sin^2 4 x = 1 - cos^2 4 x

underset(x -> 0)(lim) ((sin^2 4 x)/(x ( 1 + cos 4 x )))

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites.

(underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(x)) * (underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(( 1 + cos 4 x )))

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 4 e substituir 4x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

(underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(x)) * (4)/(4) * (underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(( 1 + cos 4 x )))

4 (underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(4 x)) * (underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(( 1 + cos 4 x )))

4 x = u

x -> 0 => u -> 0

4 (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(x -> 0)(lim) (sin 4 x)/(( 1 + cos 4 x )))

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

4 (1) * ((sin (4 * 0))/(( 1 + cos (4 * 0)))

4 (1) * ((0)/(( 1 + 1 )))

4 * 0

0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos 4 x)/(x) = 0

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