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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 47

Nos exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.

47)   lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2  

Passo 1

Nós queremos calcular o limite da função x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 , quando o x tender a 0, ou seja, se aproximar do valor 0.

De acordo com a sugestão do enunciado, temos:

x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2 = 1 - x 2 + 1 x 2 + x 4 + 1 4 - 1 x 2

Agora racionalizamos ambas as frações:

Primeira fração:

( 1 - x 2 + 1 ) x 2 . 1 + x 2 + 1 1 + x 2 + 1 = 1 - ( x 2 + 1 ) x 2 . 1 + x 2 + 1   =   x 1 + x 2 + 1

Segunda fração:

x 4 + 1 4 - 1 x 2 . x 4 + 1 4 + 1 x 4 + 1 4 + 1 = x 4 + 1 - 1 x 2 . x 4 + 1 4 + 1

= x 4 + 1 - 1 x 2 . x 4 + 1 4 + 1 . x 4 + 1 + 1 x 4 + 1 + 1 = x 4 + 1 - 1 x 2 . x 4 + 1 4 + 1 2 . = x 2 x 4 + 1 4 + 1 2

Agora precisamos resolver o limite desta função da soma dessas funções.

Passo 2

l i m x → 0 x 1 + x 2 + 1 + x 2 x 4 + 1 4 + 1 2

Substituindo x por 0 temos,

= 0 2 + 0 2 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 + 1 4 - x 2 + 1 x 2   =   0

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