Calcule e justifique:

underset(x -> 2)(lim) (root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f (x) = (root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) quando x tende a 2 . Então, vamos analisar o comportamento dessa função e pra qual valor f ( x ) se aproxima quando x se aproxima de 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Repare que não dá pra simplesmente substituir diretamente o valor de x = 2 na função, pois o numerador e o denominador seriam nulos. Olha só,

underset(x -> 2)(lim) (root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = ((root(4)(2) - root(4)(2)))/(2 - 2) = (0)/(0)

Viu?! Caímos uma indeterminação (0)/(0) . Com isso devemos então manipular a função pra fugir da indeterminação. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado das raízes (root(4)(x) + root(4)(2)) :

(root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = ((root(4)(x) - root(4)(2)) (root(4)(x) + root(4)(2)))/((x - 2) (root(4)(x) + root(4)(2))) = (sqrt(x) - sqrt(2))/((x - 2) (root(4)(x) + root(4)(2)))

Mas repara que ainda caímos na mesma situação de (0)/(0) . Então vamos repetir a estratégia.

Passo 3

Como ainda não resolvermos o problema para calcular o limite ainda podemos multiplicar pelo conjugado de sqrt(x) - sqrt(2) :

(root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = ((sqrt(x) - sqrt(2)) (sqrt(x) + sqrt(2)))/((x - 2) (root(4)(x) + root(4)(2)) (sqrt(x) + sqrt(2))) = ((x - 2))/((x - 2) (root(4)(x) + root(4)(2)) (sqrt(x) + sqrt(2)))

Simplificando, ficamos com:

(root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = (1)/((root(4)(x) + root(4)(2)) (sqrt(x) + sqrt(2)))

Agora sim podemos voltar para o nosso limite.

Passo 4

Logo:

underset(x -> 2)(lim) (root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (1)/((root(4)(x) + root(4)(2)) (sqrt(x) + sqrt(2)))

= (1)/((2 root(4)(2)) (2 sqrt(2))) = (1)/(4 root(4)(8))

Uma outra forma de fazer, até mais rápida, seria usar a regra de L’Hospital, onde derivamos numerador e denominador separadamente para fugir da indeterminação. Mas se você não tiver muito afim de derivar, a estratégia do conjugado das raízes dá super certo. Ambas vão fornecer o mesmo valor no final, beleza?

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (root(4)(x) - root(4)(2))/(x - 2) = (1)/(4 root(4)(8))

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