Calcule e justifique:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 2 4 x - 2

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f x = x 4 - 2 4 x - 2 quando x tende a 2 . Então, vamos analisar o comportamento dessa função e pra qual valor f ( x ) se aproxima quando x se aproxima de 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Repare que não dá pra simplesmente substituir diretamente o valor de x = 2 na função, pois o numerador e o denominador seriam nulos. Olha só,

lim x → 2 ⁡ x 4 - 2 4 x - 2 = 2 4 - 2 4 2 - 2 = 0 0

Viu?! Caímos uma indeterminação 0 0 . Com isso devemos então manipular a função pra fugir da indeterminação. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado das raízes x 4 + 2 4 :

x 4 - 2 4 x - 2 = x 4 - 2 4 x 4 + 2 4 x - 2 x 4 + 2 4 = x - 2 x - 2 x 4 + 2 4

Mas repara que ainda caímos na mesma situação de 0 0 . Então vamos repetir a estratégia.

Passo 3

Como ainda não resolvermos o problema para calcular o limite ainda podemos multiplicar pelo conjugado de x - 2 :

x 4 - 2 4 x - 2 = x - 2 x + 2 x - 2 x 4 + 2 4 x + 2 = x - 2 x - 2 x 4 + 2 4 x + 2

Simplificando, ficamos com:

x 4 - 2 4 x - 2 = 1 x 4 + 2 4 x + 2

Agora sim podemos voltar para o nosso limite.

Passo 4

Logo:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 2 4 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 1 x 4 + 2 4 x + 2

= 1 2 2 4 2 2 = 1 4 8 4

Uma outra forma de fazer, até mais rápida, seria usar a regra de L’Hospital, onde derivamos numerador e denominador separadamente para fugir da indeterminação. Mas se você não tiver muito afim de derivar, a estratégia do conjugado das raízes dá super certo. Ambas vão fornecer o mesmo valor no final, beleza?

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 4 - 2 4 x - 2 = 1 4 8 4

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