Calcule e justifique:

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1)

Passo 1

A função (sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) não está definida para x = 1 , pois nesse ponto o denominador vai para zero e não existe divisão por zero.

Para qualquer x != 1 , podemos manipular a função multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de sqrt(x) - sqrt(1) :

(sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) = ((sqrt(x) - sqrt(1)) (sqrt(x) + sqrt(1)))/((x - 1) (sqrt(x) + sqrt(1))) = (x - 1)/((x - 1) (sqrt(x) + sqrt(1))) = (1)/(sqrt(x) + sqrt(1))

(sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) = (1)/(sqrt(x) + 1)

Passo 2

Logo:

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) = underset(x -> 1)(lim) (1)/(sqrt(x) + 1) = (1)/(sqrt(1) + 1) = (1)/(2)

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(x - 1) = (1)/(2)

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