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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 24

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4))

Passo 1

Olá seus lindxs, como estão? Bora mais uma questão?

Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso s tendendo a 2 lateralmente, apenas pelos valores menores que o 2, ou seja, tá tendendo a 2 pela esquerda.

Primeiro passo é sempre o mesmo, tentar substituir o valor s e ver no que dá:

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)) = (1)/(2 - 2) - (3)/(2^2 - 4) =

= (1)/(0) - (3)/(0) = oo - oo

Eita, deu ruim aí né... Infinito menos infinito não parece ser uma boa resposta :/

Bom, então vamos tentar dar uma mexida nessa expressão. Olhando bem, dá pra ver que temos um produto notável ali no denominador da fração da direita.... Vamos nessa!

Passo 2

Olhando para a nossa expressão, nós temos:

(1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)

Beleza... Ali na fração da direita, no denominador, temos aquele produto notável com o quadrado de um número menos o quadrado de outro número... vamos abri-lo:

(1)/(s - 2) - (3)/((s + 2) (s - 2))

Tá ficando melhor. Agora eu tenho até dois termos iguais, um em cada denominador das frações. Já que tá moleza assim, vamos fazer esse MMC e essa subtração!

(1)/(s - 2) - (3)/((s + 2) (s - 2)) = (1 (s + 2) - 3 (1))/(( s + 2 ) ( s - 2 ))

Ajeitando...

(s - 1)/((s + 2) (s - 2))

Agora temos um termo só na nossa expressão, me parece que conseguimos sair daquela indeterminação... vamos substituir o valor do nosso limite e ver no que dá:

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)) = underset(s -> 2^-)(lim) (s - 1)/((s + 2) (s - 2)) = (2 - 1)/((2 + 2) (2 - 2)) = (1)/(4 * 0) = (1)/(0)

Opaaaa! Caímos em um valor com 0 no denominador, sabemos que isso vai dar em infinito, agora só precisamos saber se é o infinito positivo ou o negativo ( + oo ou - oo ).

Vambora para análise de sinais!

Passo 3

Nossa expressão é essa aqui:

(s - 1)/((s + 2) (s - 2))

Começando por quem tá por cima, pelo nosso numerador. O que acontece com ele quando s tende a 2 por valores menores que 2, ou seja, pela esquerda:

s = 1 -> 1 - 1 = 0

s = 1,9 -> 1,9 - 1 = 0,9

s = 1,99 -> 1,99 - 1 -> 0,99

Aparentemente esse numerador aí tende a 1 e sempre com valores positivos.

Agora vamos olhar o que tá por baixo, nosso denominador. O que acontece com ele quando s tende a 2 pela esquerda:

s = 1 -> (1 + 2) (1 - 2) = 3 * - 1 = - 3

s = 1,9 -> (1,9 + 2) (1,9 - 2) = 3,9 * - 0,1 = - 0,39

s = 1,9 -> (1,99 + 2) (1,99 - 2) = 3,99 * - 0,01 = - 0,0399

E esse nosso denominador aí, tá tendendo a 0 e sempre com valores negativos.

Analisando esse rolê todo que rolou: temos que o numerador será positivo e o denominador será negativo... logo o nosso limite vai ser um valor negativo, beleza!!

Agora é só fechar tudão...

Passo 4

Sabemos que:

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)) = underset(s -> 2^-)(lim) (s - 1)/((s + 2) (s - 2)) = (1)/(0)

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número negativo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para - oo .

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)) = - oo

Resposta

underset(s -> 2^-)(lim) ((1)/(s - 2) - (3)/(s^2 - 4)) = - oo

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