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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 19

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3)

Passo 1

Beleza galerinha... aqui nós temos o limite de uma fração, onde o nosso x tende a 3 lateralmente, apenas pelos valores maiores do que 3. Para começar, vamos ver o que acontece se substituirmos o valor do nosso limite na expressão.

Ficaremos com:

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = (sqrt(3^2 - 9))/(3 - 3) = (0)/(0)

Putz, caímos numa indeterminação. Talvez seja melhor a gente abrir essa expressão e vermos se conseguirmos cortar algum termo! Esse numerador aí tá com cara que dá pra mexer nele....

Passo 2

O nosso numerador é

sqrt(x^2 - 9)

Esse termo dentro da raíz, é um produto notável que a gente conhece... um termo ao quadrado menos outro termo ao quadrado, lembra? Se não lembra, vem comigo!

x^2 - 9 = (x + 3) (x - 3)

Show de bola, substituindo isso na nossa expressão teremos:

(sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = (sqrt((x + 3) (x - 3)))/(x - 3)

Temos x - 3 tanto em cima quanto embaixo na nossa fração. Vamos tentar reduzir isso aí... lembrando que a raíz quadrada de um número é ele elevado a 1 // 2

(sqrt((x + 3) (x - 3)))/(x - 3) = ((x + 3)^((1)/(2)) (x - 3)^((1)/(2)))/((x - 3)^1)

Fazendo essa divisão, vamos ter que:

(x + 3)^((1)/(2)) (x - 3)^(- (1)/(2))

Só lembrando que um número negativo no expoente, representa uma fração...

((x + 3)^((1)/(2)))/((x - 3)^((1)/(2))) = sqrt((x + 3)/(x - 3))

Agora, não teremos mais uma indeterminação se substituirmos o nosso valor do x , mas teremos uma divisão por zero.

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = underset(x -> 3^+)(l i m) sqrt((x + 3)/(x - 3)) = (sqrt(6))/(0)

E não dá para dividir por zero né... mas sabemos que isso indica que nosso limite nos dará um valor tendendo ao infinito...

Mas precisamos fazer uma análise para ver se será + oo ou - oo

Passo 3

Voltando para a nossa expressão final que ficou como:

sqrt((x + 3)/(x - 3))

A questão nos pediu o limite lateral com x tendendo a 3 pela direita, isso é, por valores que são maiores do que 3.

Repara só que se pegarmos valores maiores do 3, nosso denominador vai ser sempre maior do que zero, e portanto, positivo.

x = 4 -> 4 - 3 = 1

x = 3,1 -> 3,1 - 3 = 0,1

x = 3,01 -> 3,01 - 3 = 0,01

E o nosso numerador acontece a mesma coisa, os valores tendendo a 3 no numerador, darão números positivos:

x = 4 -> 4 + 3 = 7

x = 3,1 -> 3,1 + 3 = 6 , 1

x = 3,01 -> 3,01 + 3 = 6 , 01

Com isso podemos fechar nossa análise!

Sabemos que:

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = underset(x -> 3^+)(l i m) sqrt((x + 3)/(x - 3))

E o nosso limite vai para infinito pois teremos um zero no nosso denominador. Com a análise que fizemos sabemos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que o nosso limite vai para + oo .

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = underset(x -> 3^+)(l i m) sqrt((x + 3)/(x - 3)) = + oo

Fechamos mais uma! Corre pro abraço

Resposta

underset(x -> 3^+)(lim) (sqrt(x^2 - 9))/(x - 3) = + oo

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